[論文レビュー] A generalization of the double ramification cycle via log-geometry

Jérémy Guéré|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

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ひとこと要約

本稿は、主なラバー $k$-対数 canonical 除数のモジュライ空間に対して対数幾何的枠組みを導入し、次元 $2g-3+n$ の正規化された完全な障害理論および仮想基本サイクルを持つ、正規なデリーニュ＝マダールスタックを確立する。$k=1$ の厳密にメロモーフィックな場合、仮想基本クラスの $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ への押し出しは、ねじれ canonical 除数の重み付き基本クラスと一致し、ピクストンの予想的公式の幾何的実現が得られる。

ABSTRACT

We give a log-geometric description of the space of twisted canonical divisors constructed by Farkas--Pandharipande. In particular, we introduce the notion of a principal rubber $k$-log-canonical divisor, and we study its moduli space. It is a proper Deligne--Mumford stack admitting a perfect obstruction theory whose virtual fundamental cycle is of dimension $2g-3+n$. In the so-called strictly meromorphic case with $k=1$, the moduli space is of the expected dimension and the push-forward of its virtual fundamental cycle to the moduli space of stable curves equals the weighted fundamental class of the moduli space of twisted canonical divisors. Conjecturally, it yields a formula of Pixton generalizing the double ramification cycle in the moduli space of stable curves.

研究の動機と目的

• 安定曲線のモジュライ空間における一般化された二重リーマン・サイクルのピクストンの予想的公式の幾何的実現を提供すること。
• 対数幾何学を用いて、主なラバー $k$-対数 canonical 除数のモジュライ空間を定義し、その性質を研究すること。
• このモジュライ空間に対して完全な障害理論と仮想基本クラスを確立し、期待される次元 $2g-3+n$ を示すこと。
• 仮想サイクルの押し出しをねじれ canonical 除数の重み付き基本クラスと関連づけ、ファルカス–パンダリパーンデの予想に一致させること。
• 厳密にメロモーフィックな場合（$k=1$）に、仮想基本クラスが基本クラスと一致することを示し、予想的公式を支持すること。

提案手法

• 曲線上の対数構造と $0$ および $\infty$ にマークされた除数をもつラバー対象 $\mathbb{P}^1$ への相対的写像を用いて、主なラバー $k$-対数 canonical 除数の概念を導入する。
• 双対グラフ上の安定性条件を用いて、対数幾何的技術によりモジュライ空間 $\mathcal{D}^{*(k)}$ を正規なデリーニュ＝マダールスタックとして構成する。
• 導来対数層の圏を用いて $\mathcal{D}^{*(k)}$ 上に完全な障害理論を定義し、次元 $2g-3+n$ の仮想基本サイクルを導く。
• 前安定曲線のモジュライ空間上のルート構成を用いて、ノードにおける接触順序を考慮して、ストラトの重みを計算する。
• 安定化準同型 $\mathrm{st}$ を用いて仮想サイクルを $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ に押し出し、タウトロジカルクラスと関連付ける。
• 厳密にメロモーフィックな場合、$k=1$ のとき、仮想基本クラスが基本クラスに一致することを証明し、$\mathrm{st}_*[\mathcal{D}^{*(1)}_{\mathrm{pr}}] = H_g(\vec{\mathbf{m}})$ が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数幾何学における相対的安定写像のモジュライ空間を通じて、$k$-捩じれ canonical 除数の一般化された二重リーマン・サイクルを幾何的に実現できるか。
• RQ2 主なラバー $k$-対数 canonical 除数のモジュライ空間は、次元 $2g-3+n$ の完全な障害理論を有するか。
• RQ3 厳密にメロモーフィックな場合（$k=1$）に、仮想基本サイクルの $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ への押し出しは、ねじれ canonical 除数の重み付き基本クラスを回復するか。
• RQ4 $k$-対数 canonical 除数のモジュライ空間におけるストラトの重みは、ノードにおける絶対的接触順序の積によって決定されるか。
• RQ5 $k=1$ の場合に、仮想サイクルの押し出しは、$2^{-g}$ の因子を除いてピクストンの予想的公式と一致するか。

主な発見

• 主なラバー $k$-対数 canonical 除数のモジュライ空間 $\mathcal{D}^{*(k)}$ は、完全な障害理論を有する正規なデリーニュ＝マダールスタックである。
• $\mathcal{D}^{*(k)}$ の仮想基本サイクルの次元は $2g-3+n$ であり、期待される次元と一致する。
• 厳密にメロモーフィックな場合、$k=1$ のとき、仮想基本クラスは基本クラスと一致する：$[\mathcal{D}^{*(1)}_{\mathrm{pr}}]^\mathrm{vir} = [\mathcal{D}^{*(1)}_{\mathrm{pr}}]$。
• $Z_0$ というストラトの基本クラスの $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ への押し出しは $\mathrm{st}_*[Z_0] = \prod_{e \in E^*(G_0^{\mathrm{stab}})} |c_e| \cdot [\mathrm{st}(Z_0)]$ であり、接触順序からの重みが寄与する。
• $k=1$ の場合、仮想サイクルの押し出しは $\mathrm{st}_*[\mathcal{D}^{*(1)}_{\mathrm{pr}}] = H_{g,\vec{\mathbf{m}}}$ を満たし、ファルカス–パンダリパーンデの重み付き基本クラスと一致する。
• この結果は、Conjecture 3.21（$\mathrm{st}_*[\mathcal{D}^{*(1)}_{\mathrm{pr}}] = 2^{-g}P^g_{g,\vec{\mathbf{m}}}$）を支持し、一般の $k$ に対する予想的公式へと拡張される。