[論文レビュー] A generalization of the Jiang-Su construction

Yasuhiko Sato|ArXiv.org|Mar 30, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、江・蘇の構成を一般化し、任意の可算アーベル群 K₁ を持つ単位的・単純・射影元をもたない C*-代数を構成する。その代数は、一意なトレース状態と Z-安定性を有する。1次元的グラフ上の特別な構造の次元低下代数の帰納的極限を用い、弱内自己同型を法とするアペリオーディック自己同型の特徴づけをロフリン型条件により行い、その結果、このような自己同型の同型類に関する結果を得る。

ABSTRACT

Let $G$ be a countable abelian group. We construct a unital simple projectionless C*-algebra $A$ with a unique tracial state, that satisfies $(K_0(A), [1_A]) \cong (\Z, 1) $, $K_1(A) \cong G$, absorbs the Jiang-Su algebra tensorially, and that is obtained as the inductive limit C*-algebra of a sequence of dimension drop algebras of a specific form. This construction is based on the construction of the Jiang-Su algebra. By this construction, we show a certain conjugacy result for aperiodic automorphisms of these projectionless C*-algebras. We also show that an automorphism of this projectoinless C*-algebra has a certain aperiodicity up to the weakly inner automorphisms in the tracial representation if and only if it has a kind of Rohlin property, which leads to the Rohlin property after taking tensor product of certain C*-algebras of real rank zero.

研究の動機と目的

• 江・蘇の代数の構成を、任意の可算アーベル群 K₁ を持つ単位的・単純・射影元をもたない C*-代数を生成するように一般化すること。
• 分類理論において重要な性質である Z-安定性を、これらの一般化された代数に対して確立すること。
• 正の元の条件を用いて、弱内自己同型を法とするアペリオーディック自己同型を特徴づけること。
• 江・蘇の代数に対して既知の結果を一般化し、商群 Aut(A)/WInn(A) におけるアペリオーディック自己同型の同型類に関する結果を証明すること。
• 実ランクゼロの C*-代数とテンソル積をとった後、自己同型のロフリン性質が弱内自己同型を法とするアペリオーディック性と同値であることを示すこと。

提案手法

• 区間 [0,2π] と円周 T の一点合併からなる 1 次元コンパクトハウスドルフ空間上に、端点で行列代数が制御された射影元をもたない次元低下代数を構成し、K₁ 群を制御する。
• このような次元低下代数の帰納的極限を用いて、K₀ = ℤ、K₁ = G（任意の可算アーベル群 G）となる単位的・単純・射影元をもたない C*-代数を構築する。
• Elliott の分類理論と Lin の一般次元低下代数の帰納的極限に関する結果を適用し、Z-安定性（A ⊗ Z ≅ A）を確立する。
• 一意なトレース状態 τ に付随する GNS表現 πτ を用い、πτ(A)'' の弱閉包を分析することで、弱内自己同型を法とする自己同型を研究する。
• A∞ 内の中心列と πτ(A)'' 内の強作用素位相収束を用い、正の元の列 (fn) が τ(1 − ∑αj(fn)) → 0 かつ fnαj(fn) = 0（j = 1,...,k−1）を満たすことで、アペリオーディック性条件と関連付ける。
• Connes の単純型 II₁ 因子上のアペリオーディック自己同型の分類を用い、πτ(A)'' 内に射影 Em を構成し、それらを A∞ 内の元 fm′ に上げ、関数計算を用いて必要な正の中心列 (fn) を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 江・蘇の構成を、任意の可算アーベル群 K₁ を持つ単位的・単純・射影元をもたない C*-代数を生成するように一般化できるか？
• RQ2 このような一般化された代数の自己同型 α に対して、その Aut(A)/WInn(A) 内の像がアペリオーディックであるための条件は何か？
• RQ3 適切な実ランクゼロの C*-代数とテンソル積をとった後、自己同型 α ⊗ β がロフリン性質をもつことは、弱内自己同型を法とする α のアペリオーディック性と同値か？
• RQ4 正の中心列 (fn) が fnαj(fn) = 0 かつ τ(1 − ∑αj(fn)) → 0 を満たすことが、Aut(A)/WInn(A) 内での α のアペリオーディック性を特徴づけるか？
• RQ5 トレース表現において、近似的内自己同型と弱内自己同型を用いて、アペリオーディック自己同型の同型類を確立できるか？

主な発見

• 本稿は、任意の可算アーベル群 G に対して、(K₀(A), [1A]) ≅ (ℤ, 1)、K₁(A) ≅ G、一意なトレース状態 τ、および A ⊗ ℤ ≅ A を満たす単位的・単純・射影元をもたない C*-代数 A を構成する。
• この構成は、G のランクと torsion 和分量に対応するトーラス T と区間 [0,2π] の数を持つ 1 次元グラフ上の次元低下代数の帰納的極限として実現される。
• A の自己同型 α が WInn(A) を法としてアペリオーディックであることは、任意の k ∈ ℕ に対して、A 内の正の元の中心列 (fn) が存在し、fnαj(fn) = 0（j = 1,...,k−1）かつ τ(1 − ∑j=0k−1 αj(fn)) → 0 を満たすことと同値である。
• 任意の ε > 0 に対して、A の任意の二つのアペリオーディック自己同型 α と β は、α = γ ∘ σ ∘ β ∘ σ⁻¹ として同型である。ここで σ は近似的内自己同型であり、γ ∈ WInn(A) で、W が πτ∘γ の共役による実装を満たし、‖W − 1‖₂ < ε を満たす。
• 自己同型 α が適切な実ランクゼロの C*-代数とテンソル積をとった後、ロフリン性質をもつことは、弱内自己同型を法として α がアペリオーディックであることと同値である。
• 証明は、A∞ 内の中心列を用いて πτ(A)'' 内の射影を上げ、gm のような元に対する関数計算を用いて、アペリオーディック性条件を満たす正の中心列 (fn) を構成することに依拠している。