[論文レビュー] A generalization of the Voiculescu theorem for normal operators in semifinite von Neumann algebras

Qihui Li, Junhao Shen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、分離可能双対を備えた半有限なフォン・ノイマン代数と、忠実な正規半有限トレース重みを備えた正規作用素へのボイクレスクの定理の一般化を行う。任意の正規作用素が作用素ノルムおよびヒルベルト＝シュミットノルムの両方で対角作用素により近似可能であることを証明し、この文脈における非可換なウェイル＝フォン・ノイマン定理の拡張を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we provide a generalized version of the Voiculescu theorem for normal operators by showing that, in a von Neumann algebra with separable pre-dual and a faithful normal semifinite tracial weight $τ$, a normal operator is an arbitrarily small $(\max\{\|\cdot\|, \Vert\cdot\Vert_{2}\})$-norm perturbation of a diagonal operator. Furthermore, in a countably decomposable, properly infinite von Neumann algebra with a faithful normal semifinite tracial weight, we prove that each self-adjoint operator can be diagonalized modulo norm ideals satisfying a natural condition.

研究の動機と目的

• 分離可能双対を備えた半有限なフォン・ノイマン代数の文脈に、正規作用素の摂動に関するボイクレスクの定理を拡張すること。
• このような代数における任意の正規作用素が、作用素ノルムおよびヒルベルト＝シュミットノルムの両方で、任意に近い対角作用素により近似可能であることを確立すること。
• 以前のバージョンの定理で必要とされた「適切に無限大」の条件をなくすために、代数を有限部と適切に無限大部に分解すること。
• 可算分解可能で適切に無限大なフォン・ノイマン代数における自己共役作用素が、自然な条件を満たすノルムイデアルに関して対角化可能であることを証明すること。
• 直接積分解釈における可測な射影族とスペクトル分解を用いた、正規作用素の対角化のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 分離可能双対を備えた半有限なフォン・ノイマン代数を、測度空間によってパrameter化された因子の族に直接積分解釈する。
• 基底空間 X 内の s に対して添え字付けられた可測な射影族 {q_i^(s)}_i を構成し、d = ∑_i λ_i p_i と定義する。ここで p_i = U_s^* q_i^(s) U_s はほとんど everywhere で成り立つ。
• タイプ分解定理を適用して代数を有限部 (I−p)M と適切に無限大部 pM に分割し、それぞれを別々に取り扱う。
• 有限部に属する射影に対して τ(p_n) < ∞ が成り立つことを利用し、ヒルベルト＝シュミットノルムを制御可能な対角近似を構成する。
• 集合 K_m に対して μ(K_m) < ∞ であり、各 K_m で ‖a(s) − ∑_i λ_i p_i(s)‖_{s,2}² ≤ ε² / (2^{2m}(μ(K_m)+1)) が成り立つように積分を適用することで、不等式 ‖a − ∑_i λ_i p_i‖₂ ≤ ε を導出する。
• 有限部と無限大部における近似を d = d_0 + ∑_n d_n として結合し、max{‖·‖, ‖·‖₂} における総誤差が ε で抑えられることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボイクレスクの定理（正規作用素の摂動に関するもの）は、B(H) を超えて半有限なフォン・ノイマン代数へ一般化可能か？
• RQ2 分離可能双対を備えた半有限なフォン・ノイマン代数における任意の正規作用素は、作用素ノルムおよびヒルベルト＝シュミットノルムの両方で、任意に近い対角作用素により近似可能か？
• RQ3 以前のバージョンの定理で必要とされた「適切に無限大」の仮定は、忠実な正規半有限トレース重みを備えた代数では依然として必要か？
• RQ4 可算分解可能で適切に無限大なフォン・ノイマン代数における自己共役作用素は、自然な成長条件を満たすノルムイデアルに関して対角化可能か？
• RQ5 直接積分解釈において、可測なスペクトル分解をどのように構成すれば、ノルム近似が達成できるか？

主な発見

• 分離可能双対を備え、忠実な正規半有限トレース重み τ を備えた半有限なフォン・ノイマン代数における任意の正規作用素 a と任意の ε > 0 に対して、max{‖a − d‖, ‖a − d‖₂} ≤ ε を満たす対角作用素 d が存在する。
• 証明により、定理 6.2.4 における「適切に無限大」の条件は不要であることが示され、この結果は任意の分離可能双対を備えた半有限なフォン・ノイマン代数に一般化して成り立つ。
• 代数の有限部は、τ(p_n) < ∞ を満たす射影族 {p_n} への単位元の分解によって取り扱われ、ヒルベルト＝シュミットノルムが小さい対角近似の構成が可能になる。
• ヒルベルト＝シュミットノルムにおける近似誤差は、有限測度を持つ集合 K_m における積分により制御され、∫_{K_m} ‖a(s) − ∑_i λ_i p_i(s)‖_{s,2}² dμ ≤ ε² / (2^{2m}(μ(K_m)+1)) のような境界が得られる。
• 最終的な推定 ∑_{m∈ℕ} ε² μ(K_m) / (2^{2m}(μ(K_m)+1)) ≤ ε² により、‖a − d‖₂ ≤ ε が得られ、証明が完了する。
• この結果により、ウェイル＝フォン・ノイマン定理が非因子の半有限なフォン・ノイマン代数へ拡張され、トレース重みを備えたより広いクラスの代数へボイクレスクの結果が一般化された。