[論文レビュー] A generalization of the Zernike circle polynomials for forward and inverse problems in diffraction theory

A. J. E. M. Janssen|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

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ひとこと要約

本稿では、単位円板上に定義され、パラメータ $ \alpha > -1 $ によって径方向的依存性が制御される一般化されたゼルメケ関数 $ Z_n^{m,\alpha} $ の族を導入する。この関数は、光学的および音響的回折問題のより優れたモデル化を可能にする。主な貢献は、これらの関数のフーリエ変換に対する明示的な解析的表現であり、無限遠方における $ r^{-\alpha-3/2} $ の減衰を示しており、古典的なニーボア＝ゼルメケ理論を一般化し、所定の端縁挙動を有する前方および逆回折問題に対する新たな解法を可能にする。

ABSTRACT

A generalization of the Zernike circle polynomials for expansion of functions vanishing outside the unit disk is given. These generalized Zernike functions have the form Zm,α n (ρ, \vartheta) = Rm,α n (ρ) exp(im\vartheta), 0 \leq ρ < 1, 0 \leq \vartheta < 2π, and vanish for ρ > 1, where n and m are integers such that n - |m| is nonnegative and even. The radial parts are O((1 - ρ2)α) as ρ \uparrow 1 in which α is a real parameter > -1. The Zm,α n are orthogonal on the unit disk with respect to the weight function (1 - ρ2)-α, 0 \leq ρ < 1. The Fourier transform of Zm,α n can be expressed explicitly in terms of (generalized) Jinc functions Jn+α+1(2πr)/(2πr)α+1 and exhibits a decay behaviour r-α-3/2 as r ightarrow \infty. Etc.

研究の動機と目的

• 古典的ゼルメケ円多項式を、$ \alpha = 0 $ の場合を越えて前方および逆回折問題に応用可能にする一般化を目的とする。
• パラメータ $ \alpha $ を用いて、単位円板外で消失し、端縁挙動を制御可能な関数の数学的に厳密な枠組みを提供すること。
• 一般化された関数を用いたフーリエ変換およびラドン変換の解析的取り扱いを可能にする。
• ゲンゲンバウアー多項式展開に基づくDCT型アルゴリズムにより、径方向関数の高速かつ高精度な計算を支援すること。
• 速度プロファイル推定や放射力計算を含む、音響および光学的設計問題への応用を示すこと。

提案手法

• 径方向関数 $ R_n^{m,\alpha} $ が $ \rho = 1 $ 近傍で $ (1 - \rho^2)^\alpha $ の挙動を示すように、一般化されたゼルメケ関数 $ Z_n^{m,\alpha}(\rho,\vartheta) = R_n^{m,\alpha}(\rho) e^{im\vartheta} $ を導入する。
• 関数 $ Z_n^{m,\alpha} $ の明示的フーリエ変換を、一般化されたジンク関数 $ J_{n+\alpha+1}(2\pi r)/(2\pi r)^{\alpha+1} $ に比例する形で導出し、無限遠方における $ r^{-\alpha-3/2} $ の減衰を示す。
• 重み $ (1 - \rho^2)^{-\alpha} $ に関して単位円板上で直交性を確立し、関数展開の完全性と安定性を保証する。
• ゲンゲンバウアー多項式 $ C_n^{\alpha+1} $ との関連を用いて、径方向関数を $ C_n^{\alpha+1}(\rho \cos \vartheta) $ のフーリエ係数として表現し、高速なDCT型計算スキームを可能にする。
• ゲンゲンバウアー多項式を用いて、古典的ゼルメケ多項式のコーマックのラドン変換結果を $ \alpha \neq 0 $ の場合に一般化する。
• Weylの球面波表現を用いて、近接場データから得られる速度プロファイルの推定といった逆問題にこの枠組みを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $ \alpha > -1 $ に対して、単位円板端縁における $ (1 - \rho^2)^\alpha $ の挙動をモデル化できるように、古典的ゼルメケ多項式をどのように一般化できるか？
• RQ2 一般化されたゼルメケ関数のフーリエ変換の正確な形は何か？ その減衰率はパラメータ $ \alpha $ にどのように依存するか？
• RQ3 一般化された関数を用いて、近接場データからの境界条件の再構成といった逆回折問題を解くことができるか？
• RQ4 音響放射設計問題において、非直交な試行関数（例えば、ストレングおよびメロウ＝カーカイネンの関数）と比較して、一般化された関数はどのように性能を発揮するか？
• RQ5 直交多項式の恒等式を用いて、径方向関数 $ R_n^{m,\alpha} $ の高速計算スキームを導出できるか？

主な発見

• 関数 $ Z_n^{m,\alpha} $ のフーリエ変換は、明示的に $ \propto J_{n+\alpha+1}(2\pi r)/(2\pi r)^{\alpha+1} $ と与えられ、$ r \to \infty $ のとき $ r^{-\alpha-3/2} $ の減衰を示す。これは古典的 $ \alpha = 0 $ の場合を一般化する。
• 一般化されたゼルメケ関数 $ Z_n^{m,\alpha} $ は、重み $ (1 - \rho^2)^{-\alpha} $ に関して単位円板上で直交しており、関数展開の安定性を保証する。
• $ \alpha = \pm 1/2 $ の場合、関数 $ R_n^{m,\alpha} $ はルジャンドル多項式を用いて表現可能であり、正確な積分評価が可能になる。
• 径方向関数 $ R_n^{m,\alpha} $ は、$ C_n^{\alpha+1}(\rho \cos \vartheta) $ のフーリエ係数としての表現を介してDCT型計算スキームを備えており、高速かつ信頼性の高い計算が可能になる。
• ディスク境界条件を有する音響放射設計問題において、非直交な試行関数（例：ストレングおよびメロウ＝カーカイネンの関数）と比較して、一般化された関数は優れた性能を発揮する。
• 近接場データから円形のバッフルドピストン上での速度プロファイルを推定する逆問題は、Weylの表現を用いて $ Z_n^{m,\alpha} $ 基底における展開係数を用いて解ける。