[論文レビュー] A generalization of Vassiliev's planarity criterion

Tyler Friesen|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、X-図形に対するVassilievの平面性基準を、半辺の巡回的順序（反転に関して定義される）を備えた4価または6価の頂点を持つ*-図形へ一般化する。この*-図形が平面に*-埋め込みをもつための必要十分条件は、ちょうど1つの交差頂点を持つ辺に沿って離れている2つの閉路が存在しないことである。これは、X-図形への展開とサイクル構造の位相的解析を通じて、Manturovの定理を高次の頂点へ拡張するものである。

ABSTRACT

Motivated by his studies in knot theory V. Vassiliev introduced $X$-graphs as regular 4-valent graph with a structure of pairs of opposite edges at each vertex. He conjectured the conditions under which $X$-graph can be embedded into a plane respecting the the $X$-structure at every vertex. The conjecture was proved by V.Manturov. Here we generalize these results for graphs with vertices of valency 4 or 6, *-graphs. A problem of such generalization was posted by A.Skopenkov.

研究の動機と目的

• 4-価のX-図形に対するVassilievの平面性基準を、4-および6-価の頂点を持つ図形へ拡張すること。
• 各頂点における半辺の非向き付き巡回的順序を用いて*-図形を定義し、X-構造を一般化すること。
• 埋め込みにおいて巡回的順序が保存される*-埋め込みの概念を導入すること。
• Vassilievの障害（1回交差する、辺に沿って離れた2つの閉路）が存在しないことに基づく、*-平面性の必要十分条件を確立すること。
• Skopenkovの解説的ノートにおける問題2（Manturovの定理を*-図形へ一般化すること）を解決すること。

提案手法

• 各頂点における半辺の非向き付き巡回的順序を用いて*-図形を定義し、4-価頂点におけるX-構造を一般化する。
• *-埋め込みを、各頂点の隣接する半辺の巡回的順序を保つ埋め込みとして定義する。
• 6-頂点を3つの4-頂点からなる三角形に置き換えることで、*-図形をX-図形に展開する。
• *-図形が*-埋め込みをもつための必要十分条件が、その展開図がX-埋め込みをもつことであることを、埋め込みの位相的変換を用いて証明する。
• 展開された図形におけるサイクル構造を解析し、展開図にVassilievの障害が存在するならば、元の*-図形にも同様の障害が存在することを示す。
• 展開された6-頂点を通るサイクルの通過タイプ（閉路、交差、開放）を場合分けして解析し、障害を保持または再構築することを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 VassilievのX-図形に対する平面性基準を、4-および6-価の頂点を持つ図形へ拡張できるか？
• RQ2 X-構造の高次の頂点への適切な一般化は何か？また、埋め込みはこの構造をどのように尊重すべきか？
• RQ3 Vassilievの障害（ちょうど1つの交差頂点を持つ、辺に沿って離れた2つの閉路）が存在しないことは、4-および6-価の*-図形における*-平面性を特徴づけるか？
• RQ4 6-頂点を3つの4-頂点からなる三角形に展開することにより、平面性の障害はどのように保持されたり反映されたりするか？
• RQ5 4-および6-価の頂点を持つ*-図形において、*-埋め込みの存在は、Vassilievの障害が存在しないことと同値か？

主な発見

• 4-および6-価の頂点のみをもつ*-図形が平面に*-埋め込みをもつための必要十分条件は、Vassilievの障害が存在しないことである。
• *-図形をX-図形に展開しても、平面性の障害は保存される。展開図が非平面的ならば、元の*-図形に対しても非平面的である。
• 証明は、展開されたX-図形のX-埋め込みを、展開された6-頂点の周囲の埋め込みを調整することで、元の*-図形の*-埋め込みに変換することに依拠している。
• 展開されたX-図形にVassilievの障害が存在するならば、元の*-図形に対しても同様の障害が存在する。これは、展開された6-頂点におけるサイクル構造にかかわらず成り立つ。
• 展開された6-頂点を通るサイクル構造の変換は、交差条件の本質を保持する。これにより、障害が展開を介して継承されることを保証する。
• この結果により、X-図形に対するManturovの定理が、より広い図形のクラスへ一般化され、*-平面性の完全な特徴づけが得られた。