[論文レビュー] A generalized Avikainen's estimate and its applications

Dai Taguchi|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 80被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、アヴィカインの推定を一般化し、有界密度の仮定を累積分布関数のホルダー連続性に置き換えることで、確率変数の汎関数の$L^q$差の推定を拡張している。一般化された推定により、SDE、$\alpha$-安定ノイズを伴うSDE、分数 Browm運動、不規則な係数を有する確率的熱方程式における数値スキームの鋭い収束速度解析が可能となり、特にマルチレベルモンテカルロ法への応用が可能となる。

ABSTRACT

Avikainen provided a sharp upper bound of the difference $\mathbb{E}[|g(X)-g(\widehat{X})|^{q}]$ by the moments of $|X-\widehat{X}|$ for any one-dimensional random variables $X$ with bounded density and $\widehat{X}$, and function of bounded variation $g$. In this article, we generalize this estimate to any one-dimensional random variable $X$ with Hölder continuous distribution function. As applications, we provide the rate of convergence for numerical schemes for solutions of one-dimensional stochastic differential equations (SDEs) driven by Brownian motion and symmetric $α$-stable with $α\in (1,2)$, fractional Brownian motion with drift and Hurst parameter $H \in (0,1/2)$, and stochastic heat equations (SHEs) with Dirichlet boundary conditions driven by space--time white noise, with irregular coefficients. We also consider a numerical scheme for maximum and integral type functionals of SDEs driven by Brownian motion with irregular coefficients and payoffs which are related to multilevel Monte Carlo method.

研究の動機と目的

• 有界密度を要件とするアヴィカインの元来の推定を、ホルダー連続な分布関数を有するより広いクラスの一変数確率変数へ拡張すること。
• 累積分布関数のホルダー正則性に基づいた、確率変数の汎関数の一般誤差境界を確立すること。
• 一般化された推定を用いて、不規則または超線形に成長する係数を有する確率的微分方程式および熱方程式における数値スキームの収束速度を導出すること。
• マルチレベルモンテカルロ法を用いてSDEにおける最大値および積分型汎関数の解析を支援すること。

提案手法

• 累積分布関数$F_f(x) = \mu(f \leq x)$の$\alpha$-ホルダー連続性を用いて、有界密度の仮定に代えて一般化されたアヴィカイン型推定を導出する。
• 有限測度空間$(S, \Sigma, \mu)$上の測度論的枠組みを用いて、$g \circ f$と$g \circ \widehat{f}$の$L^q$ノルムにおける誤差を表現する。
• 全 Variation $V(g)$、ホルダーノルム$\|F_f\|_\alpha$、$|f - \widehat{f}|^p$のモーメントを含む重要な不等式を確立し、次式の形の上界を得る：$\int_S |g \circ f - g \circ \widehat{f}|^q d\mu \leq C V(g)^q \|F_f\|_\alpha^{p/(p+\alpha)} \mu(S)^{p/(p+\alpha)} \left(\int_S |f - \widehat{f}|^p d\mu\right)^{\alpha/(p+\alpha)}$。
• ブラウン運動、対称$\alpha$-安定ノイズ（$\alpha \in (1,2)$）および$H \in (0,1/2)$の分数 Browm運動で駆動されるSDEにこの推定を適用し、モーメント評価とマリヤン・微積分を用いる。
• 空間時間白色ノイズと不規則な係数を有する確率的熱方程式の文脈で推定を適用し、ギルサノフの定理と指数マルティンゲール技術を用いて密度およびモーメント評価を制御する。
• 不規則な係数を有するSDEにおける最大値および積分型汎関数のマルチレベルモンテカルロスキームにこの枠組みを適用し、ホルダー連続性とモーメント評価を用いて収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アヴィカインの推定は、有界密度の仮定を超えて、ホルダー連続な分布関数を有する確率変数へ拡張可能か？
• RQ2 不規則または超線形に成長する係数を有するSDEにおけるEuler–Maruyamaスキームの最適収束速度は何か？
• RQ3 一般化された推定は、空間時間白色ノイズと不規則な係数を有する確率的熱方程式にどのように適用可能か？
• RQ4 不規則な係数を有するSDEにおける最大値および積分型汎関数のマルチレベルモンテカルロ推定子の収束速度は、どのように確立できるか？
• RQ5 発散型形式の生成子や分数 Browm運動で駆動される非マルコフ的かつ非セミマルティンゲール過程に対しても、この枠組みは対応可能か？

主な発見

• 一般化された推定は、有界密度の条件を、累積分布関数の$\alpha$-ホルダー連続性に置き換えることで、不規則な過程への適用範囲を広げた。
• 弱い正則性条件を満たす drift 及び diffusion 係数を有するSDEに対して、Euler–Maruyamaスキームは時間と空間でそれぞれ収束速度$ m^{-\alpha/4} $および$ n^{-\alpha/2} $を達成する。ここで$\alpha \in (0,1/2)$である。
• ディリクレ境界条件と空間時間白色ノイズを有する確率的熱方程式に対して、同じ正則性仮定のもとで、推定により収束速度$ m^{-\alpha/4} $および$ n^{-\alpha/2} $が得られる。
• 本手法により、不規則な係数を有するSDEにおける最大値および積分型汎関数のマルチレベルモンテカルロ推定子の収束速度解析が可能となり、誤差境界はペイオフのホルダー正則性および基礎となる過程の性質に依存する。
• 発散型形式の生成子に関連する非セミマルティンゲール過程の解析に対しても、ギルサノフの定理と指数マルティンゲールのモーメント評価を用いることで、本枠組みは対応可能である。
• 主な技術的進展は、密度のsupノルムに代えて$\|F_f\|_\alpha$を用いることで、密度が存在しないか有界でない場合の誤差制御を可能にしたことである。