[論文レビュー] A generalized backwards scheme for solving non monotonic stochastic recursions

Pascal Moyal|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2010

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、部分的に順序付けられたポーランド空間上の非単調な確率的再帰に対して、駆動写像が単調性を満たさない場合でも、定常解を構成する一般化された後向きスキームを導入する。確率空間を明示的に拡張し、緊密性と時刻反転の技法を活用することで、元の空間上での解の存在に十分な条件を確立し、LoynesおよびBorovkovの結果を一般化して、ロス系と不満足な顧客を有するキューイングシステムなどの非単調なキューイング系に応用する。

ABSTRACT

We propose an explicit construction of a stationary solution for a stochastic recursion of the form $X\circθ=ϕ(X)$ on a partially-ordered Polish space, when the monotonicity of $ϕ$ is not assumed. Under certain conditions, we show that an extension of the original probability space exists, on which a solution is well-defined, and construct explicitly this extension. We then provide conditions for the solution to be defined as well on the original space. We finally apply these results to the stability study of two non-monotonic queueing systems.

研究の動機と目的

• 駆動写像が単調でない場合に生じる確率的再帰の安定性問題に取り組むこと。これはキューイングモデルにおいて一般的な制限である。
• 時間反転と緊密性の議論に基づく構成的アプローチを用いて、古典的なLoynesおよびBorovkovの枠組みを非単調な状況に拡張すること。
• 元の確率空間上での定常解の存在を、拡張された空間上でのものではなく、明示的な条件によって保証すること。
• ロスキューイングシステムと不満足な顧客を有するキューイングシステムという2つの非単調なキューイングシステムに、この枠組みを適用すること。
• 時刻反転に基づく構成を用いて、エルゴディック理論およびキューイング理論における既存の結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 時刻反転と緊密性の議論に基づく一般化された後向きスキームを提案し、拡張された確率空間上で解を構成する。
• 時刻の進化を記述するため、定常的で混合的な力学系上の可測な双方向フロー θ を用いる。
• θ−n を用いて後向き反復スキームを定義し、将来から過去へと状態の軌道を遡ることで解の構成を可能にする。
• 収束を保証するため、局所的有限集合およびラティス順序付きポーランド空間の概念を導入する。
• 可測選択を用いた拡張空間の構成を通じて、スコロホド埋め込み技法を暗黙的に応用する。
• 拡張空間上での解が、元の確率空間上でも有効である条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的に順序付けられたポーランド空間上での非単調な確率的再帰に対して、定常解が存在する条件は何か？
• RQ2 単調性が欠如する状況において、拡張された確率空間上に解を明示的に構成できるか？
• RQ3 拡張空間上での解が、元の確率空間上でも有効であるための条件は何か？
• RQ4 一般化された後向きスキームは、ロス系のような非単調なキューイングシステムにどのように応用できるか？
• RQ5 拡張空間上での定常解の存在が、元のシステムにおける一意性または安定性を示唆するのはどのような場合か？

主な発見

• 再帰が緊密性および可測性条件を満たす限り、単調性がなくても拡張された確率空間上での定常解が存在する。
• 一般化された後向きスキームは、時刻反転と可測選択を用いて、明示的に拡張された確率空間と解を構成する。
• ロスキューイングシステムでは、P(σ < ξ) > 0 の条件下で既知の安定性結果が回復され、一意な定常負荷が存在することが確認される。
• 独立な場合、すなわち到着間隔、サービス時間、忍耐時間がi.i.d.であるとき、P(σ < ξ) > 0 ならば c = 1 a.s. が成り立ち、これはエルゴディック性および非自明な定常解の存在を示唆する。
• P(σ < ξ) = 0 の場合、不変集合における負荷値の可能な数の上界が有限であることが示され、Card(H) ≤ ⌈s̲(E[D]+E[ξ])/E[ξ]⌉ が成り立つ。
• この枠組みは、LoynesおよびBorovkovの定理を特別な場合として包含し、一様な構成的スキームの下で統合的に一般化する。