[論文レビュー] A Generalized Block-Iterative Projection Method for the Common Fixed Point Problem Induced by Cutters

Yair Censor, Daniel Reem+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2022

Optimization and Variational Analysis参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、直交射影や劣勾配射影を含む連続カッター作用素の族に対する共通固定点問題（CFPP）を解くために、ブロック反復射影（BIP）法を一般化する。提案手法は、弱い条件下でも共通固定点へのグローバル収束を保証し、順次的・同時的・ブロック的反復の柔軟性を維持するとともに、新規の摂動Fejér単調性補題により、適応的摂動に対してもロバストであることを示している。

ABSTRACT

The block-iterative projections (BIP) method of Aharoni and Censor [Block-iterative projection methods for parallel computation of solutions to convex feasibility problems, Linear Algebra and its Applications 120, (1989), 165--175] is an iterative process for finding asymptotically a point in the nonempty intersection of a family of closed convex subsets. It employs orthogonal projections onto the individual subsets in an algorithmic regime that uses "blocks" of operators and has great flexibility in constructing specific algorithms from it. We extend this algorithmic scheme to handle a family of continuous cutter operators and to find a common fixed point of them. Since the family of continuous cutters includes several important specific operators, our generalized scheme, which ensures global convergence and retains the flexibility of BIP, can handle, in particular, metric (orthogonal) projectors and continuous subgradient projections, which are very important in applications. We also allow a certain kind of adaptive perturbations to be included, and along the way we derive a perturbed Fej\'er monotonicity lemma which is of independent interest.

研究の動機と目的

• ブロック反復射影（BIP）法を直交射影を超えて、広範な連続カッター作用素のクラスにまで拡張すること。
• 凸適合問題を一般化する連続カッターの族に対する共通固定点問題（CFPP）を解くこと。
• 重み関数に弱い条件下で、反復スキームが共通固定点へグローバル収束することを保証すること。
• 反復プロセスに適応的摂動を組み込みつつ収束性を維持し、ノイズや計算誤差に対しても耐性があることを示すこと。
• カッターおよびその緩和版に適用可能な、新たな摂動Fejér単調性補題を確立すること。

提案手法

• アルゴリズムは、各反復で連続カッター作用素の緩和された凸結合を現在の反復点に適用するブロック反復スキームを用いる。
• 各ブロックの作用素は、周期的または適応的に行われ、反復ごとに変化する動的重みが使用される。
• BIPを一般化するため、直交射影の代わりに、劣勾配射影や単調作用素の解像作用素を含む連続カッターを用いる。
• 適応的摂動下での収束分析のため、摂動Fejér単調性補題を導出する。
• 収束解析は、一般化されたFejér単調性枠組みと閉球を用いた蓄積点の局所化に依存する。
• 各インデックスについて、反復回数にわたる重みの和が発散する場合、アルゴリズムは共通固定点集合へグローバルに収束することが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BIP法は、直交射影を超える連続カッター作用素に対しても一般化可能か？
• RQ2 反復プロセスに摂動が導入された場合、一般化されたアルゴリズムは依然としてグローバル収束を保つのか？
• RQ3 反復列が一般化解集合よりも共通固定点集合へ収束するための条件は何か？
• RQ4 カッターの摂動Fejér単調性を形式的に確立するにはどうすればよいか？
• RQ5 収束を保証する最小限の重み関数および制御戦略の仮定は何か？

主な発見

• 提案アルゴリズムは、反復列がCFPPの一般化解へグローバル収束することを保証し、弱い条件下ではそれが共通固定点集合と一致する。
• 各インデックスについて、反復にわたる重みの和が発散する限り、共通固定点集合へのグローバル収束が保証される。これは、繰り返し、均一、周期的制御などの多くの実用的状況で成立する。
• ノイズや計算誤差に起因する適応的摂動に対しても、アルゴリズムは耐性を示し、優越化手法による意図的な摂動に対しても同様に有効である。
• 新規の摂動Fejér単調性補題が確立され、カッターの準非拡大性が特定の摂動下でも保たれることを示した。
• 従来、収束に不可欠とされていた重み列の「公平性」仮定は、証明において使用されていないため、不要であることが示された。
• 無限次元空間および不連続カッターへの拡張が議論され、主な課題は逐次コンパクト性の欠如と有界性仮定の必要性に起因する。