[論文レビュー] A Generalized Closed Form For Triangular Matrix Powers

Walter Shur|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2013

Matrix Theory and Algorithms参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、対角要素に重複がある場合でさえも、上三角行列の任意のべき乗を計算する一般化された閉形式の公式を提示する。既存の固有値が一意な場合の研究を拡張し、調整されたチェーンと摂動技術から導かれる係数を導入することで、二項係数と固有値に基づく項を用いて、正・負・ゼロの任意のべき乗を正確に計算可能にする。

ABSTRACT

This paper shows how to obtain a simple closed form for the elements of a triangular matrix raised to the nth power.

研究の動機と目的

• 既存の三角行列のべき乗に関する閉形式の公式を、非一意な対角要素をもつ場合にまで拡張すること。
• 対角要素の一意性を仮定せず、正・負・ゼロの行列のべき乗を計算する手法を開発すること。
• 固有値の重複度と組み合わせ的係数を用いて、行列の (i,j) 成分 M^n の (i,j) 成分を体系的に計算する方法を提供すること。
• 係数導出時に除算 by ゼロを回避するために、対角要素に x^i を加える摂動の使用を形式化すること。
• 結果を二項係数と対角値のべき乗の形で表現し、係数が指数 n に依存しないようにすること。

提案手法

• 各対角要素 m_{i,i} を m_{i,i} + x^i に置き換えることで、計算中に一意な対角要素を保つ摂動技術を導入する。
• 「調整されたチェーン」とは、行列要素の積を固有値の差で割ったものであり、べき乗要因 p_{i,j,s} の計算に用いられる。
• 係数 c_{i,j,r,s} を、摂動行列のべき乗要因から得られる多項式の定数項（x→0 の極限）として導出する。
• 行列のべき乗を ${}_{n}m_{i,j} = \sum_{r=1}^{num(i,j)} \sum_{s=1}^{mpy_{i,j}(r)} c_{i,j,r,s} \binom{n-1}{s-1} m_{i,j,r}^{n-s}$ で計算する。
• 一意な対角要素を持つ場合の再帰的定義とチェーンの和を用いて p_{i,j,s} を計算し、その後摂動を用いて一般化する。
• 記号計算と具体例を用いて手法を検証し、重複する固有値やゼロ・負のべき乗を含むケースも含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 繰り返しのある対角要素をもつ行列に対して、三角行列のべき乗の閉形式表現をどのように一般化できるか？
• RQ2 固有値が一意でない場合に、係数導出を可能にするために摂動（対角要素に x^i を加える）が果たす役割は何か？
• RQ3 調整されたチェーンおよびその和は、一般化された公式におけるべき乗要因 p_{i,j,s} とどのように関係するか？
• RQ4 この公式は負のべき乗およびゼロのべき乗を扱えるか？その有効性が保たれる条件は何か？
• RQ5 係数 c_{i,j,r,s} の組み合わせ的解釈（状態遷移や経路数の観点）は何か？

主な発見

• 公式 ${}_{n}m_{i,j} = \sum_{r=1}^{num(i,j)} \sum_{s=1}^{mpy_{i,j}(r)} c_{i,j,r,s} \binom{n-1}{s-1} m_{i,j,r}^{n-s}$ は、正・負・ゼロの指数を含む任意の行列のべき乗について正確な閉形式を提供する。
• M_{1,6} をもつ行列について、M^n の (1,6) 成分は $-\frac{203}{32}3^{n-1} + \frac{5}{8}\binom{n-1}{1}3^{n-2} + \frac{15}{2}\binom{n-1}{2}3^{n-3} - \frac{59}{2}5^{n-1} - 60\binom{n-1}{1}5^{n-2} + \frac{1211}{32}7^{n-1}$ に等しく、摂動と係数抽出によって導出された。
• すべての対角要素が 5 である M について、(1,4) 成分は $3\cdot 5^{n-1} + 20\binom{n-1}{1}5^{n-2} + 33\binom{n-1}{2}5^{n-3} + 40\binom{n-1}{3}5^{n-4}$ に等しく、マルコフ的経路確率の和として解釈できる。
• c_{1,6,1,1} = -\frac{203}{32} や c_{2,4,1,2} = 30 のような係数は、摂動後の多項式の項を x=0 で評価することで計算される。
• n ≥ 1 のとき、特異行列に対しても正しく処理され、0^0 = 1 と仮定することで成立する。
• r ≥ 2 のとき、差分商の消える和を用いて、再帰的定義とチェーンに基づく定義の等価性が証明された。