[論文レビュー] A generalized definition of Caputo derivatives and its application to fractional ODEs

Lei Li, Jian‐Guo Liu|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、畳み込み群を形成する修正されたリーマン–リウビルト微分法を用いて一般化されたキャプートー微分を導入し、分数階常微分方程式の統一的枠組みを構築する。主な貢献は、最小限の正則性仮定（有限時間で爆発する可能性のある解を含む）の下で非線形分数階常微分方程式および偏微分方程式に対する比較原理とエネルギー推定を確立することにある。

ABSTRACT

We extend in this paper the definition of Caputo derivatives of order in $(0,1)$ to a certain class of locally integrable functions using a convolution group. Our strategy is to define a fractional calculus for a certain class of distributions using the convolution group. When acting on causal functions, this fractional calculus agrees with the traditional Riemann-Liouville definition for $t>0$ but includes some singularities at $t=0$ so that the group property holds. Then, making use of this fractional calculus, we introduce the generalized definition of Caputo derivatives. The new definition is consistent with various definitions in literature while reveals the underlying group structure. Since the new definition is valid for a class of locally integrable functions that can blow up in finite time, it provides a framework for solutions to fractional ODEs and fractional PDEs with very weak conditions. The underlying group property makes many properties of Caputo derivatives natural. In particular, it allows us to de-convolve the fractional differential equations to integral equations with completely monotone kernels, which then enables us to prove the general Grönwall inequality (or comparison principle) with the most general conditions. This then provides the essential tools for {\it a priori} energy estimates of fractional PDEs. Some other fundamental results for fractional ODEs are also established within this frame under very weak conditions.

研究の動機と目的

• 従来のキャプートー微分およびリーマン–リウビルト微分における群構造の欠如を解消すること。
• 比較原理などの基本的性質を保持する一貫性のある一般化されたキャプートー微分の定義を確立すること。
• 最小限の滑らかさ要件のもとで非線形分数階常微分方程式の初期値問題に対する厳密な枠組みを提供すること。
• 新しい微分定義を用いて、分数階偏微分方程式に対する事前エネルギー推定を可能にすること。
• 分数階微分積分法の適用範囲を、t = 0 で特異性や爆発を示す可能性のある局所可積分関数へと拡張すること。

提案手法

• 特異性を含む核関数 gα(t) = θ(t)tα−1/Γ(α) との畳み込みとして定義される修正リーマン–リウビルト微分法 Jαϕ を導入し、群性を保証する。
• Jαϕ に対する逆畳み込み操作を用いて一般化キャプートー微分 Dγcϕ を構成し、古典的定義と整合的でありながら、背後にある群構造を明らかにする。
• Jα の群性を活用して、完全単調核を持つ積分方程式に分数階常微分方程式を変換する。
• 完全単調関数の理論とラプラス変換を用いて、一般条件のもとで比較原理を導出する。
• 畳み込み構造と核の正値性を活用して、分数階偏微分方程式のエネルギー推定を確立する。
• 正則化と分布的収束を用いて解の存在および大域的解の存在を証明する。特にハミルトニアン型系に対して有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階積分微分法の群構造を継承するように、一般化キャプートー微分をどのように定義できるか。
• RQ2 非線形分数階常微分方程式に対して一般比較原理を確立するための必要条件は何か。
• RQ3 新しい微分定義を用いて、弱い正則性仮定のもとで分数階偏微分方程式のエネルギー推定を導けるか。
• RQ4 一般化キャプートー微分は、滑らかでない、または t = 0 で爆発する関数をどのように扱えるか。
• RQ5 新しい微分定義のもとで、分数階ハミルトニアン系の解の長期的挙動はいかなるものか。

主な発見

• 一般化キャプートー微分は、畳み込み群を形成する修正リーマン–リウビルト微分法を介して定義され、分数階微分の一貫的で自然な拡張を可能にする。
• 本フレームワークにより、有限時間で爆発する関数を含む、最小限の条件下での非線形分数階常微分方程式に対する一般比較原理が確立される。
• 完全単調核を持つ積分形に方程式を変換することで、分数階偏微分方程式に対する事前エネルギー推定が確立される。
• 分数階ハミルトニアン系 Dγc v = J∇vE(v) の解は E(v(t)) ≤ E(v(0)) を満たし、適切な条件下でエネルギー散逸と大域的解の存在が証明される。
• E(p,q) = ½(p² + q²) の例では、γ < 1/2 のときエネルギーは t⁻²γ のように減衰し、解は (0,0) に収束する。これにより長期的安定性が確認される。
• フレームワークは 0 < γ < 1 に対して堅牢であり、高階分数階微分へ自然に拡張可能で、特異極限 γ → 1 においても一貫した解が得られる。