[論文レビュー] A generalized formulation for vehicle routing problems

Pedro Munari, Dollevoet, Twan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 26被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、従来の車両フロー（VF）および集合分割（SP）定式化を特別な場合として統合する一般化された $p$-ステップ定式化を導入する。経路を長さ $p$ の部分パスとしてモデル化することにより、VF定式化よりも強い線形緩和を実現し、SP定式化よりも効率的な列生成が可能になる。特に、長距離ルートを含む問題に対して顕著である。

ABSTRACT

Different types of formulations are proposed in the literature to model vehicle routing problems. Currently, the most used ones can be fitted into two classes, namely vehicle flow formulations and set partitioning formulations. These types of formulations differ from each other not only due to their variables and constraints but also due to their main features. Vehicle flow formulations have the advantage of being compact models, so general-purpose optimization packages can be used to straightforwardly solve them. However, they typically show weak linear relaxations and have a large number of constraints. Branch-and-cut methods based on specialized valid inequalities can also be devised to solve these formulations, but they have not shown to be effective for large-scale instances. On the other hand, set partitioning formulations have stronger linear relaxations, but requires the implementation of sophisticate techniques such as column generation and specialized branch-and-price methods. Due to all these reasons, so far it is has been recognized in the vehicle routing community that these two types of formulations are rather different. In this paper, we show that they are actually strongly related as they correspond to special cases of a generalized formulation of vehicle routing problems.

研究の動機と目的

• 車両ルーティング分野で主流である車両フロー（VF）および集合分割（SP）定式化を、統一的な一般化フレームワークの下に統合すること。
• VF定式化の弱点（弱い線形緩和）とSP定式化の課題（列生成における計算負担）を克服するため、柔軟な中間定式化を導入すること。
• 全ルートではなく部分パスに双対変数を関連付けることで、列生成におけるより強力な双対情報の提供を可能にすること。
• $p$-ステップ定式化の可能性を、複雑な制約を含むリッチな車両ルーティング問題および統合物流モデルにまで拡張すること。
• 異なる $p$-ステップ定式化の線形緩和の上限と、それらがVFおよびSPモデルとどのように関連するかを理論的に確立すること。

提案手法

• ネットワーク内の正確に $p$ 個のアークからなる部分パスを表す変数を用いた $p$-ステップ定式化を提案する。
• 各顧客が正確に一度訪問され、車両の容量およびルート長の制限が満たされるように制約を備えたマスタープロブレムを導出する。
• Dantzig-Wolfe分解を $p$-ステップ定式化に適用し、列生成を可能にする。サブプロブレムでは、妥当な $p$-ステップパスを生成する。
• ステップ数、積載量、時間などのリソース制限を伴うラベル設定アルゴリズムを用いて、サブプロブレムを効率的に解く。
• 部分パスに直接的に有効な不等式や制約を組み込むことで、定式化を強化する。
• 各開始ノードごとに独立してサブプロブレムを解くことで、マルチコアアーキテクチャを活用した並列処理を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 車両フローと集合分割定式化は、単一の一般化定式化の下に統合可能か？
• RQ2 異なる $p$ の値に対して、$p$-ステップ定式化の線形緩和の上限は、VFおよびSP定式化のそれと比べてどうなるか？
• RQ3 $p$-ステップ定式化は、サブプロブレムにより豊かな双対情報を提供することで、列生成のパフォーマンスを向上させられるか？
• RQ4 解法時間と緩和の強度という観点から、$p$-ステップ定式化と古典的なVF/SPモデルとの間で、どのような計算上のトレードオフが生じるか？
• RQ5 $p$-ステップ定式化は、複雑な制約を含むリッチな車両ルーティング問題に効果的に適用可能か？

主な発見

• $p$-ステップ定式化は、$p=1$ の場合がVFに対応し、$p$ が十分に大きい場合にはSPに近づくため、VFおよびSP定式化を一般化する。
• $p$-ステップ定式化の線形緩和の上限は、$p$ が増加するにつれて単調に非減少となり、$p$ が大きくなるにつれてSP定式化の上限に近づく。
• $p$-ステップ定式化における列生成では、サブプロブレムにSP定式化よりもより豊かな双対情報を提供する。双対変数がノードペアごとに定義され、直接的に辺のコストとして使用可能である。
• $p$-ステップ定式化では、開始ノードごとにサブプロブレムを独立して解くことで並列処理が可能となり、現代のハードウェア上で計算効率が向上する。
• 定式化は、容量や時間窓などの複雑な制約をマスタープロブレムに直接組み込むことができ、リッチなVRPの変種への適用性を高める。
• 最適化の過程で $p$ を段階的に増加させる「ターニングポイント戦略」を用いることで、計算コストを大幅に増加させることなく、緩和の品質を向上させることができる。