[論文レビュー] A Generalized Fractional Calculus of Variations

Tatiana Odzijewicz, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 47被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、任意の核を持つ一般化された分数積分を用いた一般化された分数変分法を導入し、混合された古典的および分数的導関数を含む変分問題に対して、オイラー＝ラグランジュ方程式、自然境界条件、およびネーター型定理を定式化可能にする。主な貢献は、非保存系にまで拡張された古典的変分原理を統一的に扱うフレームワークを提供することであり、減衰振動子と対称変換における不変性を通じてその有効性が示されている。

ABSTRACT

In this PhD thesis we introduce a generalized fractional calculus of variations. We consider variational problems containing generalized fractional integrals and derivatives, and study them using standard (indirect) and direct methods. In particular, we obtain necessary optimality conditions of Euler-Lagrange type for the fundamental and isoperimetric problems, natural boundary conditions, and Noether theorems. Existence of solutions is shown under Tonelli type conditions. Moreover, we apply our results to prove existence of eigenvalues, and corresponding orthogonal eigenfunctions, to fractional Sturm-Liouville problems.

研究の動機と目的

• 一般化された分数的微分作用素を用いて、非保存系にまで拡張された古典的変分原理を一般化する分数変分法を構築すること。
• 異なる非整数次元の一般化された分数的積分および微分を含む変分問題に対して、必要な最適性条件を導出すること。
• 一般化された分数的設定における自由境界値問題に対して、自然境界条件を確立すること。
• 分数的変分問題における対称性不変性を扱う一般化されたネーター型定理を定式化すること。
• 減衰振動子と対称性不変系を通じて、このフレームワークの適用可能性を示すこと。

提案手法

• 任意の核 $ k_eta(x,t) $ を持つ左および右の分数的積分の線形結合として定義される一般化された分数的積分作用素 $ K_P^eta $ を導入し、パrameter $ P = \big\bracevert a,x,b,p,q \big\bracevert $ でパrameter化する。
• 古典的微分と一般化された積分作用素の合成として、一般化されたリーマン＝リウビルおよびカプト微分を導入する。
• 一般化された基本変分問題に対して、$ n $ 個の一般化された分数的カプト微分と $ n $ 個の一般化された分数的積分を含む関数の汎関数に標準的な変分法を適用することで、オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 端点が固定でない場合の変分を検討することで、自由境界値問題に対する自然境界条件を導出する。
• 一般化された分数的設定における等周問題を拡張し、それに応じたオイラー＝ラグランジュ型方程式を導出する。
• 1パラメータ群の変換における汎関数の不変性を分析することで、一般化されたネーター型定理を証明し、核の微分を含む保存則が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、任意の核を持つ混合された古典的および非整数次元の分数的微分および積分を含む変分法を一般化できるか？
• RQ2 複数の異なる次数の分数的作用素を含む一般化された分数的変分問題に対して、必要な最適性条件は何か？
• RQ3 一般化された分数的変分法における自由境界値問題に対して、自然境界条件は何か？
• RQ4 等周問題はどのように一般化された分数的設定に拡張できるか。その結果得られるオイラー＝ラグランジュ方程式は何か？
• RQ5 一般化された分数的変分法におけるネーター型定理の形は何か。また、対称性と保存則の関係はどのように解釈できるか？

主な発見

• 本稿では、$ n $ 個の一般化された分数的カプト微分と $ n $ 個の一般化された分数的積分を含む変分問題に対して、一般化されたオイラー＝ラグランジュ方程式を導出している。各項の非整数次元はそれぞれ異なる。
• 自由境界値問題に対して、核 $ k_eta(b,t) $ の微分を含む自然境界条件を確立している。その表現は $ \frac{d}{dt} \big( k_\beta(b,t) \frac{\nu}{\nu t} \big) $ であり、ここで $ \nu $ は一般化された分数的微分を表す。
• 一般化された等周問題では、極値条件に核の影響を反映する追加項 $ \frac{1}{k_\beta(b,t)} \frac{d}{dt} k_\beta(b,t) $ を含むオイラー＝ラグランジュ方程式が得られる。
• 一般化されたネーター型定理を証明した：汎関数が1パラメータ群の変換に対して不変であるならば、保存則が成り立つ。その形は $ \frac{d}{dt} \big( \tilde{\rho} \big) + \frac{1}{k_\beta(b,t)} \frac{d}{dt} k_\beta(b,t) \tilde{\rho} = 0 $ であり、ここで $ \tilde{\rho} $ は一般化された運動量を表す。
• ラグランジアン $ L = \frac{1}{2}m(\tilde{y}_1^2 + \tilde{y}_2^2 + \tilde{y}_3^2) - V(\textbf{y}) $ を持つ減衰振動子に対して、導出された方程式は $ \tilde{y}_i + \frac{\nu}{\nu t} \tilde{y}_i + \frac{1}{m} \frac{\nu V}{\nu y_i} = 0 $ に簡略化され、既知の散乱的力学と一致する。
• 運動量 $ p_i = m \tilde{y}_i $ は、$ \beta = 0 $ のときのみ並進対称性の下で保存されるが、$ \beta \neq 0 $ の場合には減衰項 $ \frac{1}{k_\beta(b,t)} \frac{d}{dt} k_\beta(b,t) $ を含む保存則が得られ、非局所性が保存則にどのように影響するかを示している。