[論文レビュー] A generalized Lanczos method for systematic optimization of tensor network states

Rui-Zhen Huang, Haijun Liao+6 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Quantum, superfluid, helium dynamics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアンを繰り返し作用させることで正規直交多体基底状態を逐次生成する一般化されたランチョス法を導入し、小さな仮想結合次元Dで高精度なテンソルネットワーク状態（TNS）のエネルギー計算を可能にする。この方法により、低Dでもエンタングルメントの記述とエネルギー収束が著しく向上し、標準的TNSやDMRGを凌駕する。特に、MERAのような複雑なマルチスケールエンタングルメントアンザッツを必要とせず、臨界系や励起状態の高精度なシミュレーションが可能になる。

ABSTRACT

We propose a generalized Lanczos method to generate the many-body basis states of quantum lattice models using tensor-network states (TNS). The ground-state wave function is represented as a linear superposition composed from a set of TNS generated by Lanczos iteration. This method improves significantly both the accuracy and the efficiency of the tensor-network algorithm and allows the ground state to be determined accurately using TNS with very small virtual bond dimensions. This state contains significantly more entanglement than each individual TNS, reproducing correctly the logarithmic size dependence of the entanglement entropy in a critical system. The method can be generalized to non-Hamiltonian systems and to the calculation of low-lying excited states, dynamical correlation functions, and other physical properties of strongly correlated systems.

研究の動機と目的

• 指数的に大きなヒルバート空間を持つ量子多体系をシミュレートする根本的課題に取り組むこと、特に臨界的・強い相関的領域において。
• 臨界系における対数的エンタングルメント補正を捉えるために、標準的TNSでは大きな結合次元Dが必要となるという制限を克服すること。
• Dを増加させることなくTNSの精度を向上させることにより、計算コストを削減するとともに、エンタングルメント構造とエネルギー収束を改善すること。
• TNSの適用範囲をハミルトニアンでない系、励起状態、ダイナミカル相関関数へと拡張すること。

提案手法

• 本手法は、正規化のもとでエネルギー汎関数 ⟨ψ₁|H|ψ₁⟩ を最小化するバリエーショナルTNS |ψ₁⟩ から出発する。
• 各ランチョス反復において、新しいTNS |ψₙ⟩ は、残差ノルム ||H|Ψₙ₋₁⟩ − hₙ₋₁,ₙ₋₁|Ψₙ₋₁⟩ − |ψₙ⟩||² を最小化することで生成される。ここで hₙ₋₁,ₙ₋₁ は直前の基底状態のエネルギーである。
• 新しい正規直交基底状態 |Ψₙ⟩ はグラム・シュミット直交化により構成される： |Ψₙ⟩ = aₙ(1 − |Ψₙ₋₁⟩⟨Ψₙ₋₁|)⋯(1 − |Ψ₁⟩⟨Ψ₁|)|ψₙ⟩。
• 次に、生成された正規直交TNS基底状態 |Ψ₁⟩, |Ψ₂⟩, ..., |Ψₙ⟩ の線形結合として基底状態を近似し、ハミルトニアンをこのクリロフ部分空間で対角化する。
• 本手法はMPS、PEPS、MERA、その他のTNSへ一般化可能であり、量子転送行列を用いることでハミルトニアンでない系へ、またはチェビシェフ展開を用いることでダイナミカル性質へ拡張可能である。
• 複数の状態を同時にターゲットにでき、励起状態やエネルギー間隔の計算のためのブロックランチョス法を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合次元Dを増加させることなく、TNSにランチョス型反復法を適応させ、基底状態エネルギーとエンタングルメント精度を体系的に向上させることは可能か？
• RQ2 得られた重ね合わせ状態のエンタングルメントエントロピーは系サイズにどのように依存するか？臨界系における対数的補正を正しく再現できるか？
• RQ3 小さなDにおいて、本手法が標準的TNSやDMRGに比べてエネルギー精度とエンタングルメント記述においてどの程度優れているか？
• RQ4 本手法はハミルトニアンでない系やダイナミカル相関関数へ一般化可能か？
• RQ5 ランチョス反復回数nを増加させた際、基底状態エネルギーとエンタングルメントエントロピーの収束挙動はいかなるものか？

主な発見

• 1次元および2次元ヘイゼンベルグ模型において、基底状態エネルギーは反復回数nとともに指数関数的に収束し、E(n) = E_ex + a e^(-μn) の形をとる。収束率μは結合次元Dが大きくなるに従い急激に増加する。
• 4×4正方形格子上でD=4、200回のランチョス反復を実行した場合、初期TNSに比べて基底状態エネルギーが9桁も改善された。
• 最終的な重ね合わせ状態のエンタングルメントエントロピーは反復回数とともに増加し、収束値に近づく。1%の精度に達するのに必要なTNS数n₀は、系サイズLに対してほぼ線形に増加する。
• 6×6ヘイゼンベルグ模型において、TNS-ランチョス状態の収束エンタングルメントエントロピーはD=4096のDMRG波動関数を上回り、低Dでも優れたエンタングルメント記述を示している。
• MERAのようなマルチスケールエンタングルメントアンザッツを必要とせず、臨界系におけるエンタングルメントエントロピーの対数的サイズ依存性を正しく再現している。
• フェルミオン系に対しても本手法は同様に良好に機能し、ヘイゼンベルグ模型と同等のエネルギー収束率を示しており、異なる相互作用タイプに対して高いロバスト性を示している。