[論文レビュー] A generalized Major index statistic

Sami Assaf|ArXiv.org|Jul 2, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、$k=1$ のとき古典的な主要指数（major index）と $k=n$ のとき逆転数（inversion number）の間を補間する、語における一般化された $k$-主指数統計量を導入する。Foataの研究にインspiredされた再帰的双対写像を用いて、この統計量がメイソン的（Mahonian）—すなわち逆転数と等分布する—ことを双対写像による証明で示している。この構成は $k \leq 3$ の標準ヤング盤へ拡張され、マクドナルド多項式と関連し、マクドナルド正性の組合せ的証明への道筋を示唆する。

ABSTRACT

Inspired by the $k$-inversion statistic for LLT polynomials, we define a $k$-inversion number and $k$-descent set for words. Using these, we define a new statistic on words, called the $k$-major index, that interpolates between the major index and inversion number. We give a bijective proof that the $k$-major index is equidistributed with the major index, generalizing a classical result of Foata and rediscovering a result of Kadell. Inspired by recent work of Haglund and Stevens, we give a partial extension of these definitions and constructions to standard Young tableaux. Finally, we give an application to Macdonald polynomials made possible through connections with LLT polynomials.

研究の動機と目的

• 語における主指数と逆転数の間を連続的に補間する新しい統計量、$k$-主指数を定義すること。
• すべての $k$ に対して、$k$-主指数が逆転数と等分布すること（すなわち、メイソン的であること）を双対写像による証明で示すこと。
• HaglundとStevensの最近の研究を一般化し、$k \leq 3$ の場合に $k$-主指数を標準ヤング盤へ拡張すること。
• LLT多項式を通じてマクドナルド多項式と $k$-主指数の関係を確立し、マクドナルド正性の組合せ的証明への道筋を示唆すること。

提案手法

• $(i,i+k)$ のペアで $w_i > w_{i+k}$ を満たすものとして、$k$-降下集合 $\mathrm{Des}_k(w)$ を定義する。
• $(i,j)$ のペアで $0 < j-i < k$ かつ $w_i > w_j$ を満たすものとして、$k$-逆転集合 $\mathrm{Inv}_k(w)$ を定義する。
• $(i,i+k) \in \mathrm{Des}_k(w)$ であるような $i$ の和を加えた、$\mathrm{maj}_k(w) = |\mathrm{Inv}_k(w)| + \sum_{(i,i+k) \in \mathrm{Des}_k(w)} i$ を $k$-主指数として定義する。
• Foataの元の双対写像を一般化し、$k$-主指数の分布を保つ語上の再帰的双対写像を構築する。
• 同じ双対写像枠組みを用いて、$k \leq 3$ の場合に標準ヤング盤への $k$-主指数の拡張を行う。
• LLT多項式を通じて $k$-主指数とマクドナルド多項式を関連させ、マクドナルド正性の組合せ的証明への道筋を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 語における主指数と逆転数の間を連続的に補間する統計量を定義できるか？
• RQ2 すべての $k$ に対して $k$-主指数が逆転数と等分布するか？
• RQ3 $k$-主指数を標準ヤング盤へ拡張できるか？ また、等分布性は保たれるか？
• RQ4 $k$-主指数とマクドナルド多項式の間にはどのような関係があるか？ 特に正性に関して。
• RQ5 $k$-同値類を保つ双対写像の族が存在するか？ そして、それがマクドナルド正性の組合せ的証明をもたらす可能性はあるか？

主な発見

• $k$-主指数はメイソン的である：すべての $k$ に対して $\sum_{w \in W_M} q^{\mathrm{maj}_k(w)} = \sum_{w \in W_M} q^{\mathrm{inv}(w)}$ が成り立ち、新しい再帰的双対写像族による証明が与えられる。
• $k=1$ のとき $k$-主指数は古典的主指数に、長さ $n$ の語に対して $k=n$ のとき逆転数に還元される。
• $k \leq 3$ の場合、$k$-主指数は標準ヤング盤へ拡張可能であり、HaglundとStevensによる逆転数と主指数の等分布に関する研究を一般化する。
• この構成は、Foataのものとも Kadellのものとも異なるが関連する新しい双対写像によるメイソン的性質の証明を提供する。
• $k$-主指数はLLT多項式を通じてマクドナルド多項式と関連し、本論文ではマクドナルド正性の単純な組合せ的証明をもたらす双対写像族の予想を提示する。
• 系として、2列の分割および単一の行の分割によって添え字づけられるマクドナルド多項式のシュール正性が確認される。