[論文レビュー] A Generalized Mixed Zero-sum Stochastic Differential Game and Double Barrier Reflected BSDEs with Quadratic Growth Coefficient

Saïd Hamadène, Eduard Rotenstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2008

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Z成分における2次成長を示す二重に反射する後向き stochastic 微分方程式（BSDE）によってモデル化された、一般化された混合ゼロ和確率的微分ゲームにおける鞍点の存在を確立する。上側および下側の価値関数が決定論的であり、2つの障害付き Isaacs 方程式の粘性解として一意に特徴付けられることを証明し、リスクセンシティブ制御およびアメリカンゲームオプションの枠組みを拡張する。

ABSTRACT

This article is dedicated to the study of mixed zero-sum two-player stochastic differential games in the situation when the player's cost functionals are modeled by doubly controlled reflected backward stochastic equations with two barriers whose coefficients have quadratic growth in Z. This is a generalization of the risk-sensitive payoffs. We show that the lower and the upper value function associated with this stochastic differential game with reflection are deterministic and they are also the unique viscosity solutions for two Isaacs equations with obstacles.

研究の動機と目的

• Z成分における2次成長を有する二重に反射するBSDEを用いて、リスクセンシティブ制御およびアメリカンゲームオプションを一般化すること。
• 早期停止可能で罰則を受ける可能性があるプレイヤーを含む混合ゼロ和確率的微分ゲームを分析すること。
• 上側および下側の価値関数が、2つの障害付き Isaacs 方程式の決定論的粘性解として一意に存在し、特徴付けられることを確立すること。
• Dynkinゲームとリスクセンシティブ制御の枠組みを、反射および2次係数を有する共通のBSDEに基づく構造に統合すること。

提案手法

• 著者たちは、2つの障害とZ成分における2次成長を示す係数を有する二重に反射するBSDEを用いて、ゲームのペイオフをモデル化する。
• Kobylanskiの2次成長を有するBSDEの存在および一意性結果を用いて、基礎となるBSDEの適切な定義を保証する。
• 価値関数は、BSDEの解を指数変換することで導出され、BSDEの解とゲームのペイオフ構造との間の関連が確立される。
• 伊藤の補題とマルティンゲール表現を用いて、ゲームの価値とBSDEの解との関係を形式化し、ペイオフが初期BSDE値の指数に等しいことを示す。
• 粘性解理論を適用して、上側および下側の価値関数を2つの障害付き Isaacs 方程式の解として特徴付ける。
• 2つの反射障害を持つBSDEの解の特徴付けを活用して、価値関数の動的計画原理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 停止時刻および反射を有する混合ゼロ和確率的微分ゲームの価値関数は、障害付きHJB型方程式系の粘性解として特徴付けられるか。
• RQ2 生成子のZ成分における2次成長の取り入れが、基礎となるBSDEの解の存在および一意性にどのように影響するか。
• RQ3 上側および下側の価値関数が一致する条件は何か。また、この一般化されたゲーム設定において、それらの決定論的性質はどのようなものか。
• RQ4 リスクセンシティブな好みを有する指数ペイオフ構造は、標準的なリスク中立的Dynkinゲームおよびアメリカンゲームオプションをどの程度一般化するか。
• RQ5 Z成分における2次成長を有する二重に反射するBSDEの解は、停止時刻を有する混合確率的微分ゲームの価値を十分に表現できるか。

主な発見

• 混合ゼロ和確率的微分ゲームの上側および下側の価値関数は決定論的である。これは重要な構造的結果である。
• これらの価値関数は、2つの障害付き Isaacs 方程式の粘性解として一意に特徴付けられ、古典的HJB理論を反射および2次成長の設定に拡張する。
• ゲームのペイオフは、Z成分に2次成長を有する二重に反射するBSDEの初期値の指数として表現され、確率的制御とBSDE理論との関連が確立される。
• 2つの反射障害と2次生成子を有するBSDEの解は、係数の有界性および正則性仮定のもとで、価値関数の存在および一意性を保証する。
• 価値関数の動的計画原理は、停止時刻の下限および上限におけるBSDE解の特徴付けを用いて確立される。
• 本稿は、文献におけるギャップを特定する：上側および下側の価値が一致するかどうかは、両価値関数が粘性解として存在するにもかかわらず、未解決の問題のままである。