[論文レビュー] A Generalized Nonlocal Calculus with Application to the Peridynamics Model for Solid Mechanics

Bacim Alali, Kuo Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2014

Numerical methods in engineering参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ペリダイナミクスおよび非局所拡散モデルに応用可能な一般化された非局所微分積分学フレームワークを導入する。非局所発散、勾配、およびそれらの随伴作用素を、特定の核関数を持つ積分作用素として定式化することにより、一般化された部分積分およびグリーンの恒等式を導出し、古典的ペリダイナミクスがこれらの作用素を用いて洗練された形で表現できることを示している。主な結果として、非局所作用素のより単純な形が明らかにされる。

ABSTRACT

A nonlocal vector calculus was introduced in [2] that has proved useful for the analysis of the peridynamics model of nonlocal mechanics and nonlocal diffusion models. A generalization is developed that provides a more general setting for the nonlocal vector calculus that is independent of particular nonlocal models. It is shown that general nonlocal calculus operators are integral operators with specific integral kernels. General nonlocal calculus properties are developed, including nonlocal integration by parts formula and Green's identities. The nonlocal vector calculus introduced in [2] is shown to be recoverable from the general formulation as a special example. This special nonlocal vector calculus is used to reformulate the peridynamics equation of motion in terms of the nonlocal gradient operator and its adjoint. A new example of nonlocal vector calculus operators is introduced, which shows the potential use of the general formulation for general nonlocal models.

研究の動機と目的

• ペリダイナミクスや非局所拡散のような特定のモデルに依存しない、非局所ベクトル微分積分学の一般化された数学的枠組みを構築すること。
• 非局所積分作用素が古典的微分作用素に類似するようにするために必要な構造的および核関数の条件を同定すること。
• 既存の非局所作用素（例：発散、勾配）を統一的かつ一貫性のある微分積分学フレームワークに一般化すること。
• 一般化された作用素を用いてペリダイナミクスの運動方程式を再定式化し、より単純かつ解釈可能な構造を明らかにすること。

提案手法

• 零質量条件 ∫κ(x,y,z) dx = 0 a.e. for y,z を満たす核関数を用いて、非局所発散を積分作用素として形式化すること。
• 対称核関数 α(x,y) を用いて非局所勾配およびその随伴を定義し、反対称性と古典的極限との整合性を保証すること。
• 核関数に基づく作用素定義を用いて、一般化された非局所部分積分公式およびグリーンの恒等式を導出すること。
• 特定の核関数形を選択することで、[2]における非局所ベクトル微分積分学が一般化フレームワークの特別な場合に帰着することを示すこと。
• 二重積分核 λ(x,z) を用いた新しい非局所ベクトル微分積分学の例を導入し、点対間の相互作用を超えて、近傍の重み付き平均に依存するフラックス計算を一般化すること。
• 古典的ペリダイナミクス作用素が L u = -G_α(c₁ G_α* u) - G_α(c₂ G̅_α* u) の形に再表現できることを示し、古典的弾性におけるナビエ作用素に類似した形を明らかにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペリダイナミクスや非局所拡散のような特定の非局所モデルに依存しない、一般化された非局所微分積分学を構築することは可能か？
• RQ2 非局所発散作用素が適切に定義され、極限で古典的発散作用素と整合的であるためには、核関数 κ(x,y,z) が満たすべき構造的条件は何か？
• RQ3 [2] に提示された特定の作用素を超えて、非局所部分積分およびグリーンの恒等式をどのように一般化できるか？
• RQ4 一般化された非局所微分積分学フレームワークを用いて、ペリダイナミクス作用素をより単純に表現できるか？
• RQ5 点の寄与が単に点対間の相互作用ではなく、近傍の重み付き平均に依存する場合、非局所フラックスの物理的および数学的解釈は何か？

主な発見

• 一般化された非局所微分積分学フレームワークは、非局所作用素を統一的に扱うための設定を提供し、すべての作用素が特定の核関数を持つ積分作用素として表現可能である。
• 核関数 α(x,y) が反対称かつ必要な対称性および零質量条件を満たす場合、[2] の非局所発散および勾配作用素が特別な場合として回復されることを示した。
• 二重積分核 λ(x,z) を用いた新しい非局所ベクトル微分積分学を導入し、フラックスの寄与が点対間の相互作用を超えて近傍の平均に依存することを可能にした。
• ペリダイナミクス作用素 L は、L u = -G_α(c₁ G_α* u) - G_α(c₂ G̅_α* u) の形に単純化され、G̅_α* は平均化された随伴勾配作用素であることが明らかにされた。
• 一般化されたフレームワークにより、非局所設定における部分積分およびグリーンの恒等式の厳密な導出が可能となり、非局所PDEの解析が可能になった。
• 相互作用範囲 ε_α → 0 の極限において、一般化された非局所発散は古典的局所発散作用素に還元され、古典的微分積分学との整合性が確認された。