[論文レビュー] A Generic Approach to Solving Jump Diffusion Equations with Applications to Neural Populations

Marc de Kamps|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特徴線法を用いて微分的チェイナップ＝コルモゴロフ方程式をマスタ方程式に変換することにより、拡散方程式を一般化して解く手法を提示する。この手法により、ドリフト項が除去され、密度勾配に依存しない解法が可能となり、1次元系に普遍的に適用可能である。本手法は、リーク型および2次積分・放電神経集団のモデルに適用され、大きなジャンプや高速なダイナミクスに対しても高精度な解を得ており、数値的性能はモンテカルロ法を最低1桁以上上回る。

ABSTRACT

Diffusion processes have been applied with great success to model the dynamics of large populations throughout science, in particular biology. One advantage is that they bridge two different scales: the microscopic and the macroscopic one. Diffusion is a mathematical idealisation, however: it assumes vanishingly small state changes at the microscopic level. In real biological systems this is often not the case. The differential Chapman-Kolmogorov equation is more appropriate to model population dynamics that is not well described by drift and diffusion alone. Here, the method of characteristics is used to transform deterministic dynamics away and find a coordinate frame where this equation reduces to a Master equation. There is no longer a drift term, and solution methods there are insensitive to density gradients, making the method suitable for jump processes with arbitrary jump sizes. Moreover, its solution is universal: it no longer depends explicitly on the deterministic system. We demonstrate the technique on simple models of neuronal populations. Surprisingly, it is suitable for fast neural dynamics, even though in the new coordinate frame state space may expand rapidly towards infinity. We demonstrate universality: the method is applicable to any one dimensional neural model and show this on populations of leaky- and quadratic-integrate-and-fire neurons. In the diffusive limit, excellent approximations of Fokker-Planck equations are achieved. Nothing in the approach is particular to neuroscience, and the neural models are simple enough to serve as an example of dynamical systems that demonstrates the method.

研究の動機と目的

• 状態変化が無視できないほど大きな場合に、従来の拡散近似が有する限界を解消すること。
• 任意のジャンプサイズに耐えうる、滑らかでない密度プロファイルの仮定をしない、微分的チェイナップ＝コルモゴロフ方程式の解法フレームワークを構築すること。
• 特にスパイクダイナミクスの文脈において、神経集団モデルへの適用を通じて、本手法の普遍性と数値的効率を実証すること。
• 決定論的ダイナミクスとノイズ過程を分離することにより、現実的なダイナミクスを持つ大規模神経ネットワークの正確なシミュレーションを可能にすること。
• 神経科学を越えて、ジャンプ拡散過程が広く用いられる分野（例：ファイナンス）への応用可能性を拡張すること。

提案手法

• 特徴線法を用いて微分的チェイナップ＝コルモゴロフ方程式をマスタ方程式に変換し、ドリフト項を除去することでダイナミクスを単純化する。
• 決定論的ダイナミクスを排除する座標変換を定義し、解が密度勾配に依存せず、ノイズ過程にのみ依存する形にすること。
• リーク型および2次積分・放電ニューロンのモデルダイナミクスに基づき、状態の時間発展とスパイク行動に適合したボーリングを用いて神経集団の遷移行列を構築する。
• クリロネッカー・デルタ関数とインデックスマッピングを用いて、スパイクリセットとスパイク後の状態空間への確率再入をモデル化する。
• ルンゲ＝クッタ＝フェルバーグ法による数値的解法を実装し、1入力あたりO(N)のスケーリングを達成。モンテカルロ法を最低1桁以上上回る性能を発揮する。
• 興奮性および抑制性入力を別々の遷移行列形式で取り扱い、それぞれに特化したボーリングと確率移動ルールを設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな状態遷移を仮定しないで、ジャンプ拡散方程式を解く汎用的手法を開発可能か？
• RQ2 微分的チェイナップ＝コルモゴロフ方程式を、ドリフトのないマスタ方程式に変換する方法は何か？ その解法は密度勾配に依存しないか？
• RQ3 本手法は、任意のジャンプサイズと高速ダイナミクスを有する神経集団モデルにどの程度適用可能か？
• RQ4 本手法は、リーク型および2次積分・放電ニューロンといったスパイクあり・なしの両方のニューロンモデルに対しても高精度な解を得られるか？
• RQ5 不規則または不連続な密度プロファイルが生じる場合でも、従来の数値スキームが失敗する状況において、本手法は数値的効率と安定性を維持できるか？

主な発見

• ドリフト項を除去することで、チェイナップ＝コルモゴロフ方程式がマスタ方程式に成功して変換され、基礎となる決定論的系に依存しない普遍的な解法が実現された。
• 解法は密度勾配に依存しないため、任意のジャンプサイズおよび滑らかでない確率密度プロファイルを持つ系に対してもロバストである。
• リーク型積分・放電ニューロンでは、リセットのバインに明確な水平線が観察され、スパイク後のリセットメカニズムが反映されている。
• 2次積分・放電ニューロンでは、外側のバインが広く、スパイク中の確率移動が最小限に抑えられるため、スパイク中におけるシナプス的影響がほとんどないことが示された。
• ルンゲ＝クッタ＝フェルバーグ法による数値積分により、モンテカルロ法に比べて最低1桁以上高速な性能が達成された。
• 拡散的極限において、本手法はFokker-Planck方程式の優れた近似を回復し、従来の拡散モデルと整合性があることが検証された。