[論文レビュー] A Generic Multivariate Distribution for Counting Data

Marcos A. Capistrán, J. Andrés Christen|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2011

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、平均ベクトルと分散・共分散行列のみで定義される汎用的な多次元離散分布を提案する。この分布は、ポアソン、二項分布、負の二項分布の1変量成分を混合し、正規コプラーを用いて相関構造を導入する。この手法により、正確な尤度が計算不能な複雑な確率的モデル（例：疫学的SIRモデル）に対しても、計算が高速に実行可能なベイズ推論が可能となり、低カウント時でさえもモーメント構造と相関構造をよく再現する。

ABSTRACT

Motivated by the need, in some Bayesian likelihood free inference problems, of imputing a multivariate counting distribution based on its vector of means and variance-covariance matrix, we define a generic multivariate discrete distribution. Based on blending the Binomial, Poisson and Negative-Binomial distributions, and using a normal multivariate copula, the required distribution is defined. This distribution tends to the Multivariate Normal for large counts and has an approximate pmf version that is quite simple to evaluate.

研究の動機と目的

• 平均ベクトルと共分散行列のみが与えられた場合に、連続データにおける多変量正規分布に類似した、デフォルトの多次元離散分布を構築すること。
• 正確な尤度が計算的に不可能な確率的疫学的モデルにおけるベイズ的尤度フリー推論の課題に対処すること。
• 正規近似が失敗する低カウント時でも、有効かつ正確な分布を維持すること。
• ABCのようなシミュレーションベースの手法に代わる、疫学的モデルのパrameter推定において計算が高速な代替手法を提供すること。

提案手法

• 1変量成分は、平均μと分散vでパラメータ化されたポアソン、二項分布、負の二項分布の混合であり、Gd(μ, v)と表記される。
• 多次元分布は、変数間の依存構造を導入するために多変量正規コプラーを用い、累積分布関数の逆関数を用いてマージナルを変換する。
• 正確な多次元確率質量関数（pmf）は、指定された相関行列ρを有する多変量正規密度関数をハイパーキューブ上で統合することで定義される。
• 計算を高速化するために、正規化定数Kと多変量正規密度関数と標準正規密度関数の積との比を用いた近似pmfが導出される。
• 変換式 s_i = Φ⁻¹(F_μ_i,v_i(x_i)) により、離散マージナルを標準正規変数に変換し、コプラー下での相関構造を保持する。
• この手法により、入力されたモーメント（平均、分散、相関）を正確に再現でき、カウントが大きい場合には多変量正規分布に漸近的に収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均ベクトルと共分散行列のみから、完全なモデル仕様が不要な汎用的多次元離散分布を構築できるか？
• RQ2 このような分布は、確率的疫学的モデルにおけるベイズ推論の尤度として、どのように効率的に計算・利用できるか？
• RQ3 カウントが少ない場合に、近似が真の相関構造とモーメントマッチングをどの程度正確に保持するか？
• RQ4 計算コストと精度の観点から、近似pmfは正確なバージョンと比べてどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 提案された分布 Gd_n は、平均ベクトルと共分散行列のみで定義される有効な多次元離散分布であり、多変量正規分布に類似する。
• 近似pmf gd_n は計算が高速であり、正確なpmfと非常に近い結果を示し、図1の等高線プロットではすべてのテストケースでほぼ同一の形状を示している。
• 近似における正規化定数Kは一貫して1に近く（例：0.99または0.97）、実用上定数とみなせることが示唆される。
• 正確な分布から得られる相関ρ′は、目標とするρと非常に近い（例：ケースaでは0.5144 vs. 0.5）ため、正確な依存構造が再現されている。
• 近似分布は、真の分布の1次および2次モーメントを正確に再現しており、シミュレーションによるモーメントμ_i*, v_i*, ρ* が入力パrameterとよく一致している。
• カウントが大きい場合には、分布は多変量正規分布に漸近的に収束する。これは、図1のケース(a)および(b)で確認された。