[論文レビュー] A Generic Numbering System based on Catalan Families of Combinatorial Objects

Paul Tarau|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、二分木、多分木、自然数といった組合せ的対象のカタラン族—例えば、Haskellの型クラスを用いた汎用的な番号付けシステムを提示する。このシステムにより、極めて大きな数に対する効率的な算術演算が可能になる。標準的な木構造表現を活用することで、定数時間の後続および直前操作が達成され、コンパクトなカタラン表現を持つ数に対しては、反復指数関数や指数の塔に対して従来の2進算術を上回る超指数的性能向上が達成される。

ABSTRACT

We describe arithmetic algorithms on a canonical number representation based on the Catalan family of combinatorial objects specified as a Haskell type class. Our algorithms work on a {\em generic} representation that we illustrate on instances members of the Catalan family, like ordered binary and multiway trees. We validate the correctness of our algorithms by defining an instance of the same type class based the usual bitstring-based natural numbers. While their average and worst case complexity is within constant factors of their traditional counterparts, our algorithms provide super-exponential gains for numbers corresponding to Catalan objects of low representation size.

研究の動機と目的

• Haskellの型クラスを用いて、既知の58種のカタラン組合せ的族すべてに適用可能な汎用的かつ再利用可能な算術システムの開発。
• 自然数のカタラン族としての標準的インスタンスを埋め込むことで、Knuthの矢印表記に相当する極めて大きな数の計算を、コンパクトな木構造ベースの表現を活用して効率的に行えるようにすること。
• 標準的な自然数をカタラン族の標準的インスタンスとして埋め込むことで、正しさの検証を実施すること。
• カタラン表現において低コルモゴロフ複雑性を示す数に対して、2進算術と同等またはそれ以上の性能を達成すること、特にそのような数に対して。
• 標準的なビットストリング表現では表現できないほど巨大な数に対しても、加法、乗法、およびコラッツ列計算といった高度な演算をサポートすること。

提案手法

• カタラン族を抽象化するHaskell型クラス `Cat` を定義し、空要素（`e`）と2つの要素を結合する二項演算子（`c`）を含める。
• 任意の `Cat` 型クラスインスタンスに対して、加法、減法、後続、直前といった算術演算を汎用的に実装する。
• 自然数とカタラン組合せ的対象との間の標準的双対写像を用いて、一意で曖昧さのない表現と構文的等価性のテストを保証する。
• 木構造のデータに対して構造的再帰とパターンマッチングを活用し、パス圧縮と局所的書き換えを用いて、定数時間の後続および直前操作を実現する。
• 自然数を `Cat` クラスの標準的インスタンスとして実装することで、同じ演算を検証し、正しさを確認する。
• 特に巨大な数に対して、構造的パターン（例えば、長大な0と1の列）や再帰的分解を活用して、低複雑性の入力に対して最適化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの型クラスインターフェースを用いて、すべての組合せ的に同型なカタラン族に対して、汎用的な算術システムを定義できるか？
• RQ2 このようなシステムは、多様な組合せ的構造にわたり、定数時間の後続および直前操作を達成しながらも正しさを保つことができるか？
• RQ3 コンパクトなカタラン符号化を持つ数に対して、計算複雑性の観点から、木構造表現は従来のビットストリング表現をどの程度上回るか？
• RQ4 反復指数関数（例：指数の塔）に相当する表現サイズを持つ数に対して、このシステムを用いて算術演算を効率的に行えるか？
• RQ5 カタラン表現に利点がない場合に、ビットストリング算術に切り替えるハイブリッド表現をどのように扱えるように拡張できるか？

主な発見

• 後続および直前操作の平均的時間計算量が定数時間であることを達成し、大規模な数の列の効率的走査が可能になる。
• 表現の複雑性が低い数（例：2の累乗や反復指数関数）に対して、このシステムは、指数の塔の要因に応じて、2進算術を任意の程度上回る性能を発揮する。
• コンパクトなカタラン表現を持つ数（例：10^1 および 10^3 層の高さ）の加法および減法では、表現サイズが被演算子のサイズの積に比例するが、依然として取り扱える（例：加算後10,500ノード）。
• 自然数がカタラン族の標準的インスタンスとして成功裏に埋め込まれ、算術の正しさの相互検証が可能になった。
• このシステムは、標準的な2進算術では処理できないほど巨大な入力に対しても、コラッツ列計算のような高度な計算をサポートし、巨大な入力でも実行可能性を示している。
• 実験的結果から、加法および減法は多項式時間の境界にあると示唆され、特に指数の塔の入力に対しては、出力サイズが入力の高さの積に比例して増大する最悪ケースのサイズ拡張が観察された。