[論文レビュー] A geometric approach to quantum circuit lower bounds

Michael A. Nielsen|ArXiv.org|Feb 11, 2005

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 49

ひとこと要約

本稿は、Finsler計量を用いてSU(2ⁿ)多様体上の測地線として量子回路をモデル化することにより、量子回路の下界を示す幾何的枠組みを提案する。最小回路サイズは、単位元から目的のユニタリ行列Uへの最短測地線の長さによって下から抑えられ、特に計算基底における対角ユニタリ行列に対して最適な解であるパウリ測地線（測地線方程式の解）を同定する。ほとんどの対角ユニタリ行列は指数的長さの回路を必要とする。

ABSTRACT

What is the minimal size quantum circuit required to exactly implement a specified n-qubit unitary operation, U, without the use of ancilla qubits? We show that a lower bound on the minimal size is provided by the length of the minimal geodesic between U and the identity, I, where length is defined by a suitable Finsler metric on SU(2^n). The geodesic curves of such a metric have the striking property that once an initial position and velocity are set, the remainder of the geodesic is completely determined by a second order differential equation known as the geodesic equation. This is in contrast with the usual case in circuit design, either classical or quantum, where being given part of an optimal circuit does not obviously assist in the design of the rest of the circuit. Geodesic analysis thus offers a potentially powerful approach to the problem of proving quantum circuit lower bounds. In this paper we construct several Finsler metrics whose minimal length geodesics provide lower bounds on quantum circuit size, and give a procedure to compute the corresponding geodesic equation. We also construct a large class of solutions to the geodesic equation, which we call Pauli geodesics, since they arise from isometries generated by the Pauli group. For any unitary U diagonal in the computational basis, we show that: (a) provided the minimal length geodesic is unique, it must be a Pauli geodesic; (b) finding the length of the minimal Pauli geodesic passing from I to U is equivalent to solving an exponential size instance of the closest vector in a lattice problem (CVP); and (c) all but a doubly exponentially small fraction of such unitaries have minimal Pauli geodesics of exponential length.

研究の動機と目的

• アダクタを用いない量子回路サイズの下界を示す一般的な幾何的枠組みを確立すること。
• 離散的な量子回路合成問題を、多様体SU(2ⁿ)上の連続的最適化問題に再定式化すること。
• 微分幾何学（特に測地線とFinsler計量）を活用し、ユニタリ行列を実装するために必要なゲート数の下界を導出すること。
• 計算基底における対角ユニタリ行列に対して最適なクラスの測地線（パウリ測地線）を同定・特徴づけること。
• 格子に基づく複雑度結果を用いて、ほとんどの対角ユニタリ行列に対して最小回路サイズが指数的に大きいことを示すこと。

提案手法

• 曲線の長さが回路コストに対応するように、SU(2ⁿ)にFinsler計量を定義し、曲線の長さの概念を導入する。
• 測地線方程式（2階微分方程式）を用いて、単位元から目的のユニタリ行列Uへの最小長の曲線を特徴付ける。
• 最小測地線が回路サイズの下界を与える複数のFinsler計量を構築し、その測地線方程式を明示的に計算する手順を提供する。
• パウリ群からの等長変換によって生成される測地線方程式の解として、パウリ測地線を導入する。
• Rothの補題とベクトル化技術（vecとunvec）を用いて超作用素を解析し、随伴作用のベクトル化形式を導出する。
• 最小パウリ測地線を見つける問題を、既にNP困難であると知られている格子上の最近接ベクトル問題（CVP）のインスタンスに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ行列Uを実装する最小量子回路サイズは、SU(2ⁿ)上の幾何的構造を用いて下から抑えられるか？
• RQ2 SU(2ⁿ)上の最小測地線が一意である条件は何か？また、それがパウリ測地線である条件は何か？
• RQ3 対角ユニタリ行列の最小回路サイズを計算する問題は、CVPのような難しい格子問題と同値か？
• RQ4 一般的な対角ユニタリ行列の回路サイズはどの程度大きく、その何割が指数的長さの回路を必要とするか？
• RQ5 測地線アプローチは、従来の回路合成技術では到達できない系統的な下界を提供できるか？

主な発見

• ユニタリ行列Uの最小量子回路サイズは、SU(2ⁿ)上のFinsler計量における単位元からUへの最短測地線の長さによって下から抑えられる。
• 計算基底における対角ユニタリ行列に対して、最小測地線が一意である場合、それは必ずパウリ測地線である。
• IからUへの最小パウリ測地線長を求める問題は、指数的サイズの最近接ベクトル問題（CVP）のインスタンスを解くことに等しい。
• nキュービットの対角ユニタリ行列のうち、二重指数的でない小さな割合を除き、すべてが指数的長さの最小パウリ測地線を必要とし、これは指数的回路サイズを意味する。
• 測地線アプローチは、離散的回路探索に失敗する場面でも、連続的で滑らかな最適化フレームワークを提供する。
• 特にRothの補題を用いた超作用素のベクトル化形式により、随伴作用のベクトル化形式と測地線方程式を計算的に取り扱える形で導出できる。