[論文レビュー] A Geometric Approach to Solve Fuzzy Linear Systems

Nizami Gasilov, Şahin Emrah Amrahov+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2009

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、鋭利な係数行列と三角 fuzzy 数として表現される fuzzy 右辺を備えた fuzzy 線形システム（FLS）を解くための幾何的手法を提案する。fuzzy ベクトルを n 次元の直方体としてモデル化し、線形変換を適用することで、解集合を実ベクトルの fuzzy 集合として計算する。これは、解が fuzzy 数として存在する場合の幾何的根拠を提供する。特に、係数行列が一般化置換行列である場合に有効である。

ABSTRACT

In this paper, linear systems with a crisp real coefficient matrix and with a vector of fuzzy triangular numbers on the right-hand side are studied. A new method, which is based on the geometric representations of linear transformations, is proposed to find solutions. The method uses the fact that a vector of fuzzy triangular numbers forms a rectangular prism in n-dimensional space and that the image of a parallelepiped is also a parallelepiped under a linear transformation. The suggested method clarifies why in general case different approaches do not generate solutions as fuzzy numbers. It is geometrically proved that if the coefficient matrix is a generalized permutation matrix, then the solution of a fuzzy linear system (FLS) is a vector of fuzzy numbers irrespective of the vector on the right-hand side. The most important difference between this and previous papers on FLS is that the solution is sought as a fuzzy set of vectors (with real components) rather than a vector of fuzzy numbers. Each vector in the solution set solves the given FLS with a certain possibility. The suggested method can also be applied in the case when the right-hand side is a vector of fuzzy numbers in parametric form. However, in this case, -cuts of the solution can not be determined by geometric similarity and additional computations are needed.

研究の動機と目的

• 一般条件下で fuzzy 数の解を生成しない既存の fuzzy 線形システム（FLS）解法の不整合性を是正すること。
• 一般ケースにおいて、異なるアプローチがなぜ非 fuzzy 解を生じるのかを、幾何的直感を用いて明確化すること。
• 解が fuzzy 数のベクトルではなく、実ベクトルの fuzzy 集合である新しい解法フレームワークを提案すること。
• FLS の解が常に fuzzy 数のベクトルであると保証される条件を確立すること。
• 右辺が標準的な三角 fuzzy 数ではなく、パラメトリック形式で与えられる場合への拡張を試みること。ただし、計算コストが増加する。

提案手法

• 三角 fuzzy 数のベクトルを n 次元空間における直方体としてモデル化する。
• 線形変換理論を適用し、係数行列によるこの直方体の像を計算することで、変換された平行六面体が得られる。
• 解は、特定の可能性度で FLS を満たすすべての実ベクトルの集合として定義され、fuzzy 集合を形成する。
• このアプローチは幾何的性質を活用する：線形変換による平行六面体の像は、再び平行六面体である。
• パラメトリックな fuzzy 右辺の場合、幾何的類似性が成り立たないため、-カットは数値積分またはサンプリングにより計算される。
• 係数行列が一般化置換行列である場合、解が常に fuzzy 数のベクトルであることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、fuzzy 線形システム（FLS）の解が実ベクトルの fuzzy 集合ではなく、fuzzy 数のベクトルとなるのか？
• RQ2 既存の FLS 解法が一般ケースでなぜ fuzzy 数の解を生成しないのか？
• RQ3 fuzzy 数の幾何的構造（直方体としての性質）をどのように活用して、FLS の解集合を体系的に計算できるか？
• RQ4 特に、係数行列が一般化置換行列であるという構造的性質が、fuzzy 数の解を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 右辺が標準的な三角 fuzzy 数ではなく、パラメトリック形式で与えられる場合、この手法はどのように適合可能か？

主な発見

• fuzzy 線形システムの解が、係数行列が一般化置換行列である場合に限り、fuzzy 数のベクトルであることが幾何的に証明された。
• 本手法は、従来のアプローチが一般ケースでなぜ fuzzy 数の解を生成しないのかを明確な幾何的説明で提示する。
• 解は、各々が特定の可能性度でシステムを満たす実ベクトルの fuzzy 集合として定義される。
• 右辺がパラメトリック形式の場合、解の -カットは幾何的類似性では特定できず、追加の計算が必要となる。
• 本手法は、標準的な三角 fuzzy 数よりも計算複雑性が高くなるが、パラメトリック fuzzy 数に対しても効果的に拡張可能である。
• 理論的分析と幾何的推論により、解表現の整合性と正しさが検証された。