[論文レビュー] A Geometric Framework for the Inconsistency in Pairwise Comparisons

Waldemar W. Koczkodaj, Jean-Pierre Magnot|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2016

Data Management and Algorithms参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非可換リー群に一般化することで、対比較行列における不整合性を分析する幾何的枠組みを導入し、必要十分な整合性基準と、群構造内での最も近い整合的行列を求める手法を提供する。このアプローチは単体への接続を用いて幾何的解釈を行い、不整合性の低減による近似推論の向上を図る。

ABSTRACT

In this study, a pairwise comparison matrix is generalized to the case when coefficients create Lie group $G$, non necessarily abelian. A necessary and sufficient criterion for pairwise comparisons matrices to be consistent is provided. Basic criteria for finding a nearest consistent pairwise comparisons matrix (extended to the class of group $G$) are proposed. A geometric interpretation of pairwise comparisons matrices in terms of connections to a simplex is given. Approximate reasoning is more effective when inconsistency in data is reduced.

研究の動機と目的

• 対比較行列を実数から非可換リー群 G の要素へ一般化すること。
• 一般化された群に基づく枠組みにおける整合性の必要十分条件を確立すること。
• 群 G 内で最も近い整合的行列を計算するための基準を開発すること。
• 単体への接続を用いて、対比較行列の幾何的解釈を提供すること。
• 意思決定データにおける不整合性の低減を通じて、近似推論の効果を高めること。

提案手法

• スカラーの要素をリー群 G の要素に置き換えることで、対比較行列を一般化する。
• 古典的な推移性の性質を一般化する群論的条件を用いて整合性を定義する。
• 最も近い整合的行列を求める問題を、群 G 上での最小化問題として定式化する。
• 幾何的構造（特に単体への接続）を用いて、行列要素およびその整合性を解釈する。
• 微分幾何学的ツールを用いて接続の曲率とホロノミーを分析し、不整合性を幾何的ずれと関連付ける。
• 群積の経路に依存しない性質に基づいて、G 内の行列が整合的であるための条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対比較行列の要素が非可換リー群 G に属する場合、整合性の必要十分条件は何か？
• RQ2 与えられた不整合な行列に対して、群 G 内で最も近い整合的行列をどのように計算できるか？
• RQ3 一般化された群設定における対比較行列の表現の背後にある幾何的構造は何か？
• RQ4 関連する幾何的接続における曲率やホロノミーと、行列の不整合性とはどのように関係するか？
• RQ5 不整合性を低減することで、近似推論の効果はどの程度向上するか？

主な発見

• 群に基づく枠組みにおける整合性の必要十分条件は、比較グラフ上の任意の閉ループに沿った群要素の積が、単位元に等しいことである。
• 群 G 内で最も近い整合的行列を求める問題は、明確に定義されており、リー群多様体上の最適化によって扱える。
• 単体への接続による幾何的解釈は、接続の曲率として不整合性を自然に可視化および定量化する方法を提供する。
• 行列の不整合性は、閉ループ回りの非自明なホロノミーに対応し、不整合性の微分幾何学的測度を提供する。
• 最も近い整合的行列への近似による不整合性の低減は、意思決定プロセスにおける近似推論の効果を高める。