[論文レビュー] A geometric inequality for warped product semi-slant submanifolds of nearly cosymplectic manifolds

Siraj Uddin, Abdulqader Mustafa+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ほぼコシミープティック多様体における $N_T \times_f N_\theta$ 形式のワーパード積半スラン卜部分多様体に対して鋭い幾何的不等式を確立する。この部分多様体は、不変部分 $N_T$ が完全測地的で、スラン卜部分 $N_\theta$ が完全万接であるとき存在することが示される。主な結果は、第二基本形式のノルムの二乗に対する下界であり、$\|h\|^2 \geq 4q\csc^2\theta\left(1 + \frac{1}{9}\cos^2\theta\right)\|\nabla\ln f\|^2$ と表され、等号が成り立つのは $N_T$ が完全測地的で、$N_\theta$ が埋め込まれた多様体内で完全万接である場合に限る。

ABSTRACT

Recently, we have shown that there do not exist the warped product semi-slant submanifolds of cosymplectic manifolds [10]. As nearly cosymplectic structure generalizes cosymplectic ones same as nearly Kaehler generalizes Kaehler structure in almost Hermitian setting. It is interesting that the warped product semi-slant submanifolds exist in nearly cosymplectic case while in case of cosymplectic do not exist. In the beginning, we prove some preparatory results and finally we obtain an inequality such as $\|h\|^2 \geq 4q\csc^2θ\{1+\frac{1}{9}\cos^2θ\}\| abla \ln f\|^2$ in terms of intrinsic and extrinsic invariants. The equality case is also considered.

研究の動機と目的

• ほぼコシミープティック多様体におけるワーパード積半スラン卜部分多様体の存在と幾何的性質を調査すること。
• コシミープティック多様体ではそのような部分多様体が存在しないのに対し、ほぼコシミープティック多様体では存在することの対比を解明すること。
• 第二基本形式、ワーピング関数、スラン卜角を含む鋭い幾何的不等式を導出すること。
• 導出された不等式の等号成立条件を部分多様体上の幾何的条件として特徴づけること。

提案手法

• リーマン接続と形状作用素を用いて、ガウスおよびヴァインガルテンの公式により第二基本形式を表現すること。
• 特に $(\bar{\nabla}_X\phi)X = 0$ を満たすほぼコシミープティック構造の条件を適用し、曲率および法成分を制約すること。
• 不変分布 $\mathcal{D}$ およびスラン卜分布 $\mathcal{D}_\theta$ の正規直交フレームの構成と、それに応じた第二基本形式の分解。
• $g(h(\phi X, Z), FZ) = (X\ln f)g(Z,Z)$ およびほぼコシミープティック条件から導かれる関係式を用い、$h$ の成分を $\nabla\ln f$ で表現すること。
• 正規直交フレーム上で和をとることと、$\theta$ および $\csc^2\theta$ を含む三角恒等式を用いた簡略化により不等式を導出すること。
• 等号成立の解析において、$h(\mathcal{D}, \mathcal{D}) = 0$、$h(\mathcal{D}_\theta, \mathcal{D}_\theta) = 0$、$h(\mathcal{D}, \mathcal{D}_\theta) \subset F\mathcal{D}_\theta$ を仮定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コシミープティック多様体では存在しないのに対し、ほぼコシミープティック多様体では $N_T \times_f N_\theta$ 形式のワーパード積半スラン卜部分多様体が存在するのだろうか？
• RQ2 ほぼコシミープティック構造がこのようなワーパード積の第二基本形式に及ぼす幾何的制約は何か？
• RQ3 ワーピング関数およびスラン卜角を用いて、第二基本形式のノルムの二乗に対する鋭い不等式を導出できるか？
• RQ4 導出された幾何的不等式の等号成立に必要な十分条件は何か？
• RQ5 等号成立の場合、部分多様体の最小性および曲率的性質はどのように関係するか？

主な発見

• 鋭い幾何的不等式が確立された：$\|h\|^2 \geq 4q\csc^2\theta\left(1 + \frac{1}{9}\cos^2\theta\right)\|\nabla\ln f\|^2$。これは、ほぼコシミープティック多様体におけるワーパード積半スラン卜部分多様体 $N_T \times_f N_\theta$ に対して有効である。
• 等号が成り立つのは、$N_T$ が完全測地的で、$N_\theta$ が埋め込まれたほぼコシミープティック多様体内で完全万接である場合に限る。
• 等号成立時には、第二基本形式が $h(\mathcal{D}, \mathcal{D}) = 0$、$h(\mathcal{D}_\theta, \mathcal{D}_\theta) = 0$、$h(\mathcal{D}, \mathcal{D}_\theta) \subset F\mathcal{D}_\theta$ を満たす。
• $Z,W \in \Gamma(\mathcal{D}_\theta)$ に対して $h^\star(Z,W) = -\nabla\ln f \cdot g(Z,W)$ の関係から、部分多様体 $N_\theta$ が完全万接であることが示される。
• 等号条件および $h(\mathcal{D}, \mathcal{D}) = 0$ の成立により、不変部分多様体 $N_T$ は $\bar{M}$ 内で完全測地的である。
• この不等式は、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき接触 $\mathrm{CR}$-ワーパード積に対する既存の結果を一般化し、その特殊な場合に既知の境界が回復される。