[論文レビュー] A geometric invariant of a finite group

Torsten Ekedahl|ArXiv.org|Mar 18, 2009

Mathematics and Applications参考文献 1被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、代数的スタックのグロテンディーク群における有限群の分類スタックの類を調査し、スタック的対称冪に導かれるλ構造を用いて、対称群ではそれが自明であることを示す。さらに、ℤ/47のような特定の群に対しては不変量理論とノイターの問題に対する反例を用いて非自明性を証明し、類と分岐しないブラウ어群および商概型の有理型との関係を示す。

ABSTRACT

We study the class of the classifying stack of a finite group in a Grothendieck group of algebraic stacks introduced previously. We show that this class is trivial in a number of examples most notably for all symmetric groups. We also give some examples where it is not trivial. The latter uses counterexamples of Saltman and Swan to the problem of Noether.

研究の動機と目的

• 有限群Gの分類スタックBGの類が代数的スタックのグロテンディーク群K₀(Stckₖ)において自明であるかどうかを特定すること。
• 忠実なG-表現Vに対する商概形V/Gの有理型または安定有理型性とBGの類との関係を調査すること。
• 分岐しないブラウア群のような幾何的不変量が、K₀(Stckₖ)におけるBGの類とどのように関係するかを調査すること。
• K₀(Stckₖ)におけるλ構造と特徴標数0におけるK₀(Spcₖ)の通常のλ構造との関係を確立すること。
• サルトマンとスワンによるノイターの有理型問題に対する反例を用いて、{BG} ≠ 1である明示的例を提示すること。

提案手法

• Gの忠実な線形表現を用いて、ベクトルの安定化部分群による層化を構成し、K₀(Stckₖ)における{BG}の帰納的計算を可能にする。
• 「スタック的」対称冪を用いて定義されるK₀(Stckₖ)上のλ構造を適用し、特に対称群における{BΣₙ} = 1の証明に重要な役割を果たす。
• K₀(Spcₖ)′ ≅ K₀(Stckₖ)の同型（K₀(Spcₖ)をℒおよびℒⁿ−1で局域化したもの）を用いて、スタックの類と概形を関連付ける。
• 完成写像K₀(Stckₖ) → ˆK₀(Spcₖ)を用いて、コンパクトな補題付きのオイラー特性とコホホロジー的重みを介してBGの類を分析する。
• G ∈ Zar ならば {BH} = {G/H}{BG} および {G}{BG} = 1 が成り立つこと（特に有限次元代数の単元群の群スキームに対して）を活用する。
• 不変量理論の結果、特にG-表現の不変体の分岐しないブラウア群を用いて、{BG}の非自明性を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有限群G、特に対称群に対して、K₀(Stckₖ)における{BG}の類が1に等しいか。
• RQ2 {BG} = 1 であるという事実が、忠実なG-表現Vに対する商概形V/Gが有理的または安定有理的であることにどの程度まで影響を与えるか。
• RQ3 G-表現の不変体の分岐しないブラウア群は、K₀(Stckₖ)における{BG}の類から回復可能か。
• RQ4 特徴標数0におけるK₀(Stckₖ)上のλ構造とK₀(Spcₖ)の標準的λ構造との関係は何か。
• RQ5 非分裂トーラスの滑らかなトーリックコンパクト化の存在が、K₀(Stckℚ)における{Bℤ/47}の非自明性を検出可能か。

主な発見

• すべての対称群Σₙに対して、スタック的対称冪に導かれるλ構造を用いて、K₀(Stckₖ)における{BΣₙ} = 1であることを証明した。
• ℚ上のℤ/47に対して、非分裂トーラスの滑らかなトーリックコンパクト化を用いて、K₀(Stckℚ)における{Bℤ/47}は非自明であることを確立した。
• 忠実なG-表現の不変体の分岐しないブラウア群は{BG}の不変量であるため、サルトマンとボゴモロフの例から、特徴標数0における非自明な{BG}が得られる。
• K₀(Spcₖ)において{V/G} = ℒⁿならば、V/Gは有理的であり、これはK₀(Spcₖ)≤nで検出可能であり、既知の事例で有理的であることを確認できる。
• K₀(Spcₖ)≤nからgrⁿK₀(Spcₖ)への写像は同型であるため、この群における{V/G}の計算が双有理的不変量を反映していることが示された。
• 完成写像K₀(Stckₖ) → ˆK₀(Spcₖ)を用いることで、コンパクトな補題付きのオイラー特性とコホホロジー的重みを介して、{BG}の非自明性を検出可能である。