[論文レビュー] A geometric proof of the existence of Whitney stratifications

V. A. Kaloshin|ArXiv.org|Oct 13, 2000

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、実または複素解析的・代数的空間内の半代数的集合に対して、ホイットニーのa-およびb-正則分離の存在について幾何的証明を提示する。ミルナーの曲線選択補題、ロルの補題、横断性定理を用い、接平面の極限や臨界射影における不規則性を反復的に解消することで分離を構成し、特異集合が次元が低い不規則性集合を持つ正則分離を有することを証明する。

ABSTRACT

A stratification of a singular set, e.g. an algebraic or analytic variety, is, roughly, a partition of it into manifolds so that these manifolds fit together "regularly". A classical theorem of Whitney says that any complex analytic set has a stratification. This result was extended by Lojasiewicz to real (semi)analytic sets. In this paper we present a short geometric proof of existence of stratifications based on Thom's transversality theorem and Milnor's curve selection lemma and not relying on difficult results of Lojasiewicz.

研究の動機と目的

• 実または複素解析的・代数的空間内の半代数的集合に対して、ホイットニーのa-およびb-正則分離の存在について、幾何的かつ構成的証明を提供すること。
• 特異点の解消や代数幾何学への依存を排除し、初等的な微分および幾何学的技法に置き換えること。
• 分離における不規則点の集合が、関係する層よりも次元が厳密に低いことの証明。
• 初期の分割を臨界集合と射影写像を用いて反復的に refining することでホイットニー正則分離を得る構成的技法の確立。

提案手法

• ミルナーの曲線選択補題を適用し、低次元の層に近づく点の接平面の極限を分析する。
• ロルの補題を用いて横断的部分空間への直交射影の臨界点を特定し、不規則極限点の近傍に臨界点が存在することを保証する。
• 横断性定理を用いて、異なる接平面極限を分離する可算個の横断的平面を構成し、不規則集合の分解を可能にする。
• 接平面極限からの角度のずれを測るキュー型写像 $\mathcal{P}^{a(\text{resp.}b)}$ を定義し、正則値を用いて部分層を定義する。
• 横断的平面に沿った射影の臨界集合 $\operatorname{Crit}(l_j, V_j)$ を構成し、それらが次元が低い半代数的集合であることを示す。
• これらの臨界部分層の閉包をとり、境界における相対内部として新しい層を定義することで分離を refining する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異点の解消や深い代数幾何学への依存なしに、ホイットニー分離を幾何的に構成可能か？
• RQ2 a-またはb-正則性が失敗する点の集合は、必然的に次元が低い半代数的集合か？
• RQ3 横断的部分空間への射影の臨界点を用いて、正則性の不成立を検出・解消可能か？
• RQ4 一意でない接平面極限が存在することは、近傍に臨界点が存在することを示唆するか？
• RQ5 分離を反復的に refining することで、すべての不規則性が次元が低い部分層に限定されるか？

主な発見

• a-不規則点の集合 $\operatorname{Sing}_a(V_j, V_i)$ は、$\dim V_i$ よりも次元が厳密に小さい半代数的集合である。
• 同様に、b-不規則点の集合 $\operatorname{Sing}_b(V_j, V_i)$ は、$\dim V_i$ よりも次元が厳密に小さい半代数的集合である。
• 不規則性集合は、$\overline{V_j^p} \setminus V_j^p$ の閉包の和集合に含まれており、これら自身が次元が低い。
• 任意の不規則点 $x$ に対して、$V_j$ の局所的連結成分内を $x$ に近づく点列が存在し、その接平面が複数の極限方向を持つ。
• キュー写像 $\mathcal{P}^{a(\text{resp.}b)}$ は、精錬された層内の点列において正の極限点を持つため、精錬された分解における正則性が保証される。
• この構成により、任意の初期分割がホイットニー正則分離に精錬され、すべての不規則性が次元が厳密に低い集合に限定される。