[論文レビュー] A geometric quantization of the Kostant-Sekiguchi correpondence for scalar type unitary highest weight representations

Jan Möllers|arXiv (Cornell University)|May 23, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 46被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、テイブ型のヘルミート Lie 群のスカラー型単位的最高重量表現について、Kostant–Sekiguchi 対応の幾何的量子化を構築する。各表現は、$\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$ 内の $K_{\mathbb{C}}$-軌道の閉包上での平方可積分な正則関数からなる Fock 空間へ実現される。主たる貢献は、$I$-、$K$-、および $J$-Bessel 関数を用いた積分核および再生核としての多変数 Jordan 代数上の一般化された Segal–Bargmann 変換を、$L^2(\mathcal{O})$ 上のシュレーディンガー模型と新しい Fock 模型の間の intertwining 演算子として明示的に構成することにある。

ABSTRACT

For any Hermitian Lie group $G$ of tube type we give a geometric quantization procedure of certain $K_{\mathbb{C}}$-orbits in $\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$ to obtain all scalar type highest weight representations. Here $K_{\mathbb{C}}$ is the complexification of a maximal compact subgroup $K\subseteq G$ with corresponding Cartan decomposition $\mathfrak{g}=\mathfrak{k}+\mathfrak{p}$ of the Lie algebra of $G$. We explicitly realize every such representation $π$ on a Fock space consisting of square integrable holomorphic functions on its associated variety $Ass(π)\subseteq\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$. The associated variety $Ass(π)$ is the closure of a single nilpotent $K_{\mathbb{C}}$-orbit $\mathcal{O}^{K_{\mathbb{C}}}\subseteq\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$ which corresponds by the Kostant-Sekiguchi correspondence to a nilpotent coadjoint $G$-orbit $\mathcal{O}^G\subseteq\mathfrak{g}^*$. The known Schrödinger model of $π$ is a realization on $L^2(\mathcal{O})$, where $\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}^G$ is a Lagrangian submanifold. We construct an intertwining operator from the Schrödinger model to the new Fock model, the generalized Segal-Bargmann transform, which gives a geometric quantization of the Kostant-Sekiguchi correspondence (a notion invented by Hilgert, Kobayashi, Ørsted and the author). The main tool in our construction are multivariable $I$- and $K$-Bessel functions on Jordan algebras which appear in the measure of $\mathcal{O}^{K_{\mathbb{C}}}$, as reproducing kernel of the Fock space and as integral kernel of the Segal-Bargmann transform. As a corollary to our construction we also obtain the integral kernel of the unitary inversion operator in the Schrödinger model in terms of a multivariable $J$-Bessel function as well as explicit Whittaker vectors.

研究の動機と目的

• テイブ型のヘルミート Lie 群のスカラー型単位的最高重量表現の幾何的かつ解析的な構成を提供すること。
• これらの表現を、$K_{\mathbb{C}}$-軌道の閉包である $\operatorname{Ass}(\pi) \subseteq \mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$ に倣う正則関数の Fock 空間へ実現すること。
• シュレーディンガー模型 $L^2(\mathcal{O})$ と新しい Fock 模型の間の明示的な intertwining 演算子（一般化された Segal–Bargmann 変換）を構成し、Kostant–Sekiguchi 対応を幾何的に量子化すること。
• 単位的反転作用素の積分核と明示的な Whittaker ベクトルを、Jordan 代数上の多変数 Bessel 関数を用いて導出すること。

提案手法

• Fock 空間は、$\operatorname{Ass}(\pi) \subseteq \mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$ 上の平方可積分な正則関数の空間として構成され、$K_{\mathbb{C}}$-軌道の測度から導かれる Bessel–Fischer 内積を備える。
• 群のユニタリ作用は、リー代数に付随する微分作用素を介して Fock 空間に実現され、再生核は Jordan 代数上の $K$-Bessel 関数で表される。
• 一般化された Segal–Bargmann 変換は、$I$-Bessel 関数から構成される核を持つ積分作用素として構成され、$L^2(\mathcal{O})$ から Fock 空間へのユニタリな intertwining 写像を提供する。
• この構成は、$I$-、$K$-、および $J$-Bessel 関数の多変数版が、$\mathcal{O}^{K_{\mathbb{C}}}$ 上の測度密度、Fock 空間の再生核、および変換の積分核として自然に現れることに依拠する。
• Kostant–Sekiguchi 対応を用いて、$\mathfrak{g}^*$ 内のノンアーベル $G$-軌道と $\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$ 内のノンアーベル $K_{\mathbb{C}}$-軌道を関連づけ、$\operatorname{Ass}(\pi)$ がそのような軌道の閉包であることを示す。
• $\mathfrak{so}(2,n)$ の分岐則は、表現空間を $\mathfrak{so}(n-m)$-不変部分空間に分解し、各部分空間が $\mathbb{C}[Z_1,\ldots,Z_m] \otimes \mathcal{H}^k(\mathbb{C}^{n-m})$ に同型であることを示し、作用が $\mathrm{d}\pi_{\lambda+k}^{\mathfrak{so}(2,m)}$ を通して因数分解されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー型単位的最高重量表現に対して、Kostant–Sekiguchi 対応をどのように幾何的に量子化できるか？
• RQ2 シュレーディンガー模型と新しい Fock 模型の間の intertwining 演算子（一般化された Segal–Bargmann 変換）の明示的形は何か？
• RQ3 Jordan 代数上の多変数 Bessel 関数は、測度、再生核、および変換の積分核としてどのように自然に現れるか？
• RQ4 $\mathfrak{so}(2,n)$ を $\mathfrak{so}(2,m) \times \mathfrak{so}(n-m)$ に制限したときの分岐則の構造は何か？また、どの成分が正則離散系列に属するか？
• RQ5 シュレーディンガー模型における単位的反転作用素の積分核は何か？また、Bessel 関数とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、テイブ型のヘルミート Lie 群のすべてのスカラー型単位的最高重量表現について、$K_{\mathbb{C}}$-軌道の閉包である $\operatorname{Ass}(\pi) \subseteq \mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$ 上の平方可積分な正則関数の空間としての Fock 模型を構築する。
• 一般化された Segal–Bargmann 変換は、Jordan 代数上の $I$-Bessel 関数を核とする積分作用素として明示的に実現され、シュレーディンガー模型から Fock 模型へのユニタリな intertwining 写像を提供する。
• シュレーディンガー模型における単位的反転作用素の積分核は、Jordan 代数上の多変数 $J$-Bessel 関数として表現可能であることが示された。
• $K$-Bessel 関数を用いて明示的な Whittaker ベクトルが構成され、表現空間内でのこれらの特殊なベクトルの解析的実現が得られた。
• $\mathfrak{so}(2,n)$ に対して、$\mathfrak{so}(2,m) \times \mathfrak{so}(n-m)$ への制限の下で、分岐則は $\bigoplus_{k=0}^\infty \mathrm{d}\pi_{\lambda+k}^{\mathfrak{so}(2,m)} \boxtimes \mathcal{H}^k(\mathbb{R}^{n-m})$ に分解され、$\lambda = \frac{n-2}{2}$ である。$k$ の値に応じて連続 Wallach 空間または正則離散系列に属する成分が現れる。
• 表現 $\mathrm{d}\pi_{\lambda}^{\mathfrak{so}(2,n)}$ は $2m < n$ のとき非正則離散系列成分を含むことが示され、分岐則に正則および非正則両方の表現が含まれることがわかった。