[論文レビュー] A Geometrical Manifold of Entropy for Fisher Information and Quantum Potential

Germano Resconi, Ignazio Licata+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非ユークリッド的確率的枠組み内でフィッシャー情報量とボームの量子ポテンシャルを統一するため、形態形成微積分を用いてエントロピーの幾何学的多様体を提案する。量子エントロピーをボルツマンエントロピーの重ね合わせとして表現し、最小フィッシャー情報量制約を課すことにより、研究は量子ポテンシャルを曲率に起因する効果として導出し、量子力学の幾何学的基盤と、量子重力への潜在的道筋を提示する。

ABSTRACT

It is here proposed a geometric approach for the problem of describing entropy in a quantum system. We make use of an extension of tensor calculus called morphogenetic calculus. By using such formalism we express the entropy of a quantum system as the superposition of Boltzmann entropies. In this way we also provide a reading of the relational interpretation of quantum mechanics. Moreover we show that the Bohm quantum potential emerges as a consequence of the classical equilibrium under the constraint of a minimum condition of Fisher information. In this way, Bohm quantum potential appears as a non-Euclidean deformation of the probabilistic space. Finally we investigate the possible quantum-relativistic extensions of the theory and the connections with the problem of quantum gravity.

研究の動機と目的

• 高度なテンソル形式を用いて、量子系におけるエントロピーの幾何学的枠組みを構築すること。
• 多様体に基づくエントロピーモデルを通じて、量子力学の関係的解釈を解釈すること。
• 最小フィッシャー情報量制約下での古典的平衡状態からボームの量子ポテンシャルを導出すること。
• 幾何学的エントロピー形式を通じて、量子力学、相対性理論、および量子重力の間の関係を探索すること。

提案手法

• 確率的空間における幾何的構造をモデル化するため、テンソル微積分の拡張として形態形成微積分を用いる。
• 幾何学的多様体上でボルツマンエントロピーの重ね合わせとしてエントロピーを定義する。
• 古典的平衡を強制し、量子ポテンシャルを導出するためにフィッシャー情報量に最小条件を課す。
• 量子ポテンシャルを、基礎となる確率的空間の非ユークリッド的変形としてモデル化する。
• 微分幾何学を用いて、フィッシャー情報量の制約によって生じる曲率を記述する。
• 形式を、量子的相対論的および量子重力的含意を考慮するように拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子系におけるエントロピーは、多様体論を用いてどのように幾何学的に表現できるか？
• RQ2 フィッシャー情報量は、量子ポテンシャルのような非古典的量子効果を生成する役割を果たすか？
• RQ3 ボームの量子ポテンシャルは、幾何学的設定下で最小フィッシャー情報量原理から自然に出現するか？
• RQ4 この幾何学的エントロピー枠組み内において、量子力学の関係的解釈はどのように現れるか？
• RQ5 この形式は、相対性理論および量子重力とを統一する上でどのような含意を有するか？

主な発見

• ボームの量子ポテンシャルは、最小フィッシャー情報量制約に起因する確率的空間の非ユークリッド的変形として生じる。
• 量子系におけるエントロピーは、幾何学的多様体上でのボルツマンエントロピーの重ね合わせとして表現される。
• 形式は、量子力学の関係的解釈の幾何学的解釈を提供する。
• フィッシャー情報量の最小化下での確率的多様体の曲率から、量子ポテンシャルが自然に出現する。
• この理論は、エントロピー多様体の幾何学的拡張を通じて、量子重力への道筋を示唆する。
• このモデルは、形態形成微積分を介して、フィッシャー情報量と量子ポテンシャルの新しい幾何学的統一を導入する。