[論文レビュー] A George Szekeres Formula for Restricted Partitions

L. Bruce Richmond|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2018

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ひとこと要約

本稿では、ジョージ・ツェーゼルの円法と鞍点技法を用いて、$ n $ を高々 $ j $ 個の部分に分け、各部分が高々 $ r $ 以下であるような整数分割の数に対する漸近公式を導出する。偶数 $ n $ のランダムな分割がグラフ的である、すなわち単純グラフの次数列に対応する確率は $ O( an^{-1/2}n) $ であることが示され、確率論的および解析的整数論の道具を用いて、ランク分布の独立性と精密な誤差項の境界が得られる。

ABSTRACT

We derive an asymptotic formula for $A(n,j,r)$ the number of integer partitions of $n$ into at most $j$ parts each part $\le r$. We assume $j$ and $r$ are near their mean values. We also investigate the second largest part, the number of parts $\ge 2$, etc. We show that the fraction of the partitions of an even integer $n$ that are graphical, ie. whose parts form the degree sequence of a simple graph, is $O(\ln^{-1/2} n)$. Probabilistic results are used in our discussion of graphical partitions. The George Szekeres circle method is essential for our asymptotic results on partitions. We determine the distributions defined by the successive ranks of partitions, generalizing the result of Erdos and Richmond for the rank of a partition.

研究の動機と目的

• $ n $ を高々 $ j $ 個の部分に分け、各部分が $ \leq r $ であるような整数分割の数 $ A(n,j,r) $ の漸近公式を、$ j $ と $ r $ がそれらの平均値に近いとき導出すること。
• 整数分割における連続するランクの分布を分析し、エルドシュとリッチモンドの分割のランクに関する結果を一般化すること。
• 偶数 $ n $ のランダムな分割がグラフ的である、すなわちその部分が単純グラフの次数列を形成する確率を調査すること。
• 分割の母関数に対する鞍点法の誤差項をより精緻に評価し、$ O(n^{-1/7}) $ の誤差項を達成すること。
• 典型的な分割における最大部分と部分数の分布が漸近的に独立であることを確立すること。

提案手法

• 生成関数 $ \sum_{n=0}^\infty A(n,j,r)x^n = \prod_{\nu=1}^r \frac{1 - x^{j+\nu}}{1 - x^\nu} $ を用いる。これはガウスの二項係数に相当する。
• ツェーゼルの円法を適用し、$ \alpha = \pi / \sqrt{6n} $ とすると、半径 $ e^{-\alpha} $ の円に沿った線積分として $ A(n,j,r) $ を表現する。
• 鞍点法を用いて積分を近似し、被積分関数の対数を $ \theta $ のべき級数に展開し、$ |\theta| \leq \theta_0 = n^{-5/7} $ の範囲での主要寄与を推定する。
• コーシーの定理と位相関数の2階および3階微分の漸近的解析を用いて誤差項を制御し、尾部積分が無視可能であることを示す。
• エッセンの不等式を適用して、独立なランク分布に従う確率変数の和の尾部確率を評価し、グラフ的分割の境界に至る。
• ガンマ関数とラプラス変換の技法を用いて、$ k $ 番目の連続ランク $ r_k(t) $ の密度を導出し、ランク分布の独立性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ j $ と $ r $ がそれらの平均値に近いとき、$ n $ を高々 $ j $ 個の部分に分け、各部分が $ \leq r $ であるような整数分割の数 $ A(n,j,r) $ の漸近的挙動は何か？
• RQ2 整数分割における連続ランクの分布どうしの関係は何か？ それらが互いに独立であることを示せるか？
• RQ3 偶数 $ n $ のランダムな分割がグラフ的である、すなわちその部分が単純グラフの次数列を形成する確率は何か？
• RQ4 $ A(n,j,r) $ の鞍点近似における誤差項をより正確に評価できること、具体的には $ O(n^{-1/7}) $ とできるか？
• RQ5 漸近的状況において、分割における最大部分の分布が部分数の分布と独立になるか？

主な発見

• $ r_k(t) = \lfloor \sqrt{6n}/\pi \cdot t_k \rfloor $ となる $ n $ の分割の数は、漸近的に $ P(n) \cdot \frac{\pi}{\sqrt{6n}} \cdot \frac{\Gamma(2k)}{\Gamma^2(k)} \cdot \left(1 + e^{-t_k}\right)^{-2k} \left(1 + e^{t_k}\right)^{-2k} $ に比例する。
• 連続ランク $ r_k(t) $ の分布は互いに独立であり、有限個の $ k $ についての同時漸近解析が可能である。
• $ k $ 番目のランク分布の分散は $ \sigma_k^2 \sim \pi k^{-1}/2 $ を満たし、3次の絶対モーメント $ \rho_k \sim 12k^{-3/2}\sqrt{\pi} $ である。
• ランク分布の和の尾部確率は $ O(\ln^{-1/2}n) $ で有界であり、これにより偶数 $ n $ のランダムな分割がグラフ的である確率が $ O(\ln^{-1/2}n) $ であることが結論づけられる。
• $ A(n,j,r) $ の鞍点近似における誤差項は $ O(n^{-1/7}) $ であり、以前の推定を改善している。
• 典型的な分割における最大部分と部分数の分布は漸近的に独立であることが確認され、文献に未だ報告のなかった結果を裏付けた。