[論文レビュー] A Gillespie algorithm for non-Markovian stochastic processes: Laplace transform approach

Naoki Masuda, Luis E. C. Rocha|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Complex Network Analysis Techniques被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、完全に単調な生存関数を持つ再生過程をモデル化するためにラプラス変換を用いた、非マコフ過程のための新規ギルズビー・アルゴリズムを提案する。この手法により、長尾型のイベント間隔分布の効率的シミュレーションが可能となり、イベント間隔の正の相関を正確に捉えることができる。実際の観測された相関レベルですら、疫病動態にほとんど定量的影響を与えない。

ABSTRACT

The Gillespie algorithm provides statistically exact methods to simulate stochastic dynamics modelled as interacting sequences of discrete events including systems of biochemical reactions or earthquakes, networks of queuing processes or spiking neurons, and epidemic and opinion formation processes on social networks. Empirically, inter-event times of various human activities, in particular human communication, and some natural phenomena are often distributed according to long-tailed distributions. The Gillespie algorithm and its extant variants either assume the Poisson process, which produces exponentially distributed inter-event times, not long-tailed distributions, assume particular functional forms for time courses of the event rate, or works for non-Poissonian renewal processes including the case of long-tailed distributions of inter-event times but at a high computational cost. In the present study, we propose an innovative Gillespie algorithm for renewal processes on the basis of the Laplace transform. It uses the fact that a class of point processes is represented as a mixture of Poisson processes with different event rates. The method allows renewal processes whose survival function of inter-event times is completely monotone functions and works faster than a recently proposed Gillespie algorithm for general renewal processes. We also propose a method to generate sequences of event times with a given distribution of inter-event times and a tunable amount of positive correlation between inter-event times. We demonstrate our algorithm with exact simulations of epidemic processes on networks. We find that positive correlation in inter-event times modulates dynamics but in a quantitatively minor way with the amount of positive correlation comparable with empirical data.

研究の動機と目的

• 長尾型のイベント間隔分布を有する非マコフ確率過程を、効率的かつ統計的に正確にシミュレートするためのアルゴリズムを開発すること。
• 従来のギルズビー・アルゴリズムが指数分布のイベント間隔を仮定するか、一般の再生過程では高い計算コストを要するという限界を克服すること。
• ターゲットの周辺分布を維持しつつ、イベント間隔の間で調整可能な正の相関を持つイベント列挙をシミュレートできること。
• 人間の相互作用パターンを現実的に再現するネットワーク上での疫病拡散モデルへの応用において、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• イベント間隔分布のラプラス変換を活用し、確率的変動する発生レートを持つポアソン過程の混合として点過程のクラスを表現する。
• 完全に単調な生存関数が指数分布の混合に一致することを応用し、混合パラメータに対する逆変換サンプリングにより正確なサンプリングを可能にする。
• アルゴリズムは、まず混合分布からレートを抽出し、そのレートに基づいて指数分布のイベント間隔を生成することで、イベント時刻をサンプリングする。
• 完全に単調関数の解析的構造を活用することで、ラプラス変換の逆変換を用いて、先行手法の高い計算コストを回避する。
• 混合過程における連続するレートの間の依存関係を導入することで、相関のあるイベント間隔を生成可能となる。
• さまざまなイベント間隔分布と相関構造の下で、ネットワーク上での疫病拡散の正確なシミュレーションを通じて、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン仮定に依存せず、一般の再生過程としての長尾型イベント間隔分布を持つ非マコフ過程を、効率的にシミュレートできるギルズビー・アルゴリズムを設計可能か？
• RQ2 イベント間隔の正の相関が、ネットワーク上での疫病拡散ダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ3 提案手法は、与えられたイベント間隔分布と調整可能な相関を持つイベント列挙を生成しつつ、統計的正確性を維持できるか？
• RQ4 一般の再生過程において、新規アルゴリズムは既存手法に比べて計算効率に優れているか？
• RQ5 人間の相互作用パターンにおける相関が、ネットワークモデルにおける疫病拡散ダイナミクスにどの程度影響を及えるか？

主な発見

• イベント間隔の生存関数が完全に単調である場合、本手法は一般の再生過程における既存のギルズビー・アルゴリズムよりも高速なシミュレーション速度を達成する。
• 本手法は、指定されたイベント間隔分布と制御可能な正の相関を持つイベント列挙の正確なシミュレーションを可能にする。
• イベント間隔の正の相関は、実際の観測データと同等の相関レベルですら、疫病ダイナミクスにほとんど定量的影響を及ぼさないことが判明した。
• 長尾型のイベント間隔分布と調整可能な相関を組み合わせることで、本モデルは現実的な人間の通信パターンを効果的に捉えることができた。
• ラプラス変換に基づくアプローチは、複雑系における非ポアソン的再生過程のシミュレーションに対して、一般的かつ計算的に効率的なフレームワークを提供する。