[論文レビュー] A Global Approach to the Theory of Connections in Finsler Geometry

Nabil L. Youssef, S. H. Abed+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、引き戻し形式を用いて、Finsler幾何におけるChern接続およびHashiguchi接続の存在および一意性定理について、座標に依存しない内的な証明を提供する。両接続は、それぞれ関連する半射影（標準的スプレー）および非線形接続（Barthel接続）によって一意に定まることが示され、それらとCartan接続との間の明示的な内的な関係が導かれる。局所的表現は古典的結果と一致する。

ABSTRACT

Adopting the pullback approach to global Finsler geometry, the aim of the present paper is to provide intrinsic (coordinate-free) proofs of the existence and uniqueness theorems for the Chern (Rund) and Hashiguchi connections on a Finsler manifold. To accomplish this, we introduce and investigate the notions of semispray and nonlinear connection associated with a given regular connection, in the pullback bundle. Moreover, it is shown that for the the Chern (Rund) and Hashiguchi connections, the associated semispray coincides with the canonical spray and the associated nonlinear connection coincides with the Barthel connection. Explicit intrinsic expressions relating these connections and the Cartan connection are deduced. Although our investigation is entirely global, the local expressions of the obtained results, when calculated, coincide with the existing classical local results. We provide, for the sake of completeness and for comparison reasons, two appendices, one of them presenting a global survey of canonical linear connections in Finsler geometry and the other presenting a local survey of our global approach.

研究の動機と目的

• Finsler幾何におけるChern接続およびHashiguchi接続の存在および一意性定理を、座標に依存しない内的な証明を提供すること。
• 非線形接続が両Chern接続およびHashiguchi接続と関連する際、それがBarthel接続に一致することを示すことにより、引き戻しアプローチとKlein-Grifoneアプローチとの間に幾何的リンクを確立すること。
• Chern接続およびHashiguchi接続とCartan接続との間の明示的な内的な関係式を導出すること。
• グローバルな結果が局所座標に特化された場合、文献に見られる古典的な局所的表現を再現することを保証すること。
• 包括的かつ比較的視点から、Finsler幾何における標準的線形接続のグローバルおよび局所的サーベイを提示することにより、完全性を確保すること。

提案手法

• 引き戻しバンドル $\pi^{-1}(TM)$ を用い、滑らかな接続の定義に必要な $\pi$-ベクトル場および $\pi$-テンソル場を定義する。
• 正則接続に関連する半射影および非線形接続の概念を導入し、接続の特徴づけに不可欠な役割を果たす。
• 両Chern接続およびHashiguchi接続に対して、関連する半射影として標準的スプレー $G^h = \frac{1}{2} \gamma^{h}_{ij} y^i y^j$ を用いる。
• 両Chern接続およびHashiguchi接続に関連する非線形接続が、Barthel接続 $\Gamma^h_i = \dot{\partial}_i G^h$ に一致することを示す。
• 引き戻し形式における曲率および torsion テンソルを用いて、Chern/Hashiguchi接続とCartan接続との間の内的な関係を導出する。
• すべてのグローバル結果が局所座標で表現された場合、文献に見られる標準的な古典的表現を再現することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 引き戻し形式において、Chern接続の存在および一意性を完全に内的かつ座標に依存しない方法でどのように証明できるか。
• RQ2 Chern接続に関連する非線形接続とBarthel接続との間の正確な幾何的関係は何か。
• RQ3 引き戻しバンドルにおいて、Chern接続およびHashiguchi接続が曲率および torsion の観点からCartan接続とどのように関係するか。
• RQ4 Hashiguchi接続の内的な構造は、その関連する半射影および非線形接続を用いてどのように特徴づけられるか。
• RQ5 これらの接続に対するグローバルな内的結果が、座標の特化によってどの程度、既知の古典的局所的表現に還元されるか。

主な発見

• Chern接続は、関連する半射影が標準的スプレーであり、非線形接続がBarthel接続であるという条件によって一意に定まる。
• Hashiguchi接続に関連する非線形接続は、Barthel接続と一致し、引き戻しアプローチとKlein-Grifoneアプローチとの間の重要な幾何的リンクを確立する。
• Chern接続とCartan接続との間の明示的な内的な関係式が導出され、その差は $v$-接続成分に現れ、Chern接続ではそれが消えることが示された。
• Hashiguchi接続の内的導出により、$\textbf{F}^h_{ij} = G^h_{ij}$、$\textbf{N}^h_i = G^h_i$、および $\textbf{C}^{h}_{ij} = C^{h}_{ij}$ という独自の構造が確認され、$v$-方向におけるCartan接続の計量性が保たれる。
• Chern接続およびHashiguchi接続の曲率テンソルは、Cartan接続の曲率および torsion を用いて完全に特徴づけられ、$h$-、$v$-、および $hv$-曲率の具体的な表現が提供された。
• すべてのグローバル結果が局所座標に変換された場合、Chern接続およびHashiguchi接続の古典的局所的表現を再現し、内的アプローチの妥当性が裏付けられた。