[論文レビュー] A global compact attractor for high-dimensional defocusing non-linear Schrödinger equations with potential

Terence Tao|ArXiv.org|May 11, 2008

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、次元 $ d \geq 11 $ における滑らかで compact な台を持つポテンシャルを伴う高次元の発散型非線形シュレーディンガー方程式に対して、グローバルなコンパクトな吸引子の存在を確立する。球対称解は漸近的に線形シュレーディンガー方程式に従う放射項と、エネルギー空間 $ H^1 $ においてコンパクトな集合への収束を示す剰余項に分解され、初期エネルギーに依存しない。これはグローバルなエネルギー分散と漸近的正則性を示している。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of large data solutions in the energy space $H := H^1(\R^d)$ in very high dimension $d \geq 11$ to defocusing Schrödinger equations $i u_t + Δu = |u|^{p-1} u + Vu$ in $\R^d$, where $V \in C^\infty_0(\R^d)$ is a real potential (which could contain bound states), and $1+\frac{4}{d} < p < 1+\frac{4}{d-2}$ is an exponent which is energy-subcritical and mass-supercritical. In the spherically symmetric case, we show that as $t o +\infty$, these solutions split into a radiation term that evolves according to the linear Schrödinger equation, and a remainder which converges in $H$ to a compact attractor $K$, which consists of the union of spherically symmetric almost periodic orbits of the NLS flow in $H$. The main novelty of this result is that $K$ is a \emph{global} attractor, being independent of the initial energy of the initial data; in particular, no matter how large the initial data is, all but a bounded amount of energy is radiated away in the limit.

研究の動機と目的

• 高次元におけるポテンシャル付き発散型非線形シュレーディンガー方程式の大データ解の長時間漸近的挙動を理解すること。
• 球対称解に対して、初期エネルギーに依存しないエネルギー空間 $ H^1 $ におけるグローバルコンパクト吸引子の存在を確立すること。
• 任意に大きな初期データに対しても、エネルギーのほとんどが漸近的に無限遠へ放射されることを示すこと。
• 自由な場合を越えて漸近的完全性を理解を拡張し、非線形束縛状態とポテンシャルに起因する効果を考慮すること。
• NLSフローの球対称ほぼ周期的軌道の和集合として構造を分析すること。

提案手法

• エネルギー集中を制御し、衰減推定を導出するために、適切に選んだ重み関数 $ a $ を用いた一般化されたバービル恒等式を用いる。
• 局所的領域、特に無限遠における $ L^2 $ および $ H^1 $ ノルムを制御するために、モラウェーツ不等式およびその一般化を適用する。
• 解のエネルギー空間内での成長を制御するために、ガリャルド・ニレングラート不等式および事前境界を用いる。
• 問題の複雑さを軽減し、ほぼ周期的軌道を介してコンパクトな吸引子を構成可能にするために、球対称性を仮定する。
• 質量とエネルギーの保存則に加え、デュハメルの公式を用いて強解のグローバル存在性と正則性を確立する。
• 正則化近似および分布的議論を用いて、エネルギークラスにおいてバービル恒等式を厳密に正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャル付き発散型 NLS が高次元において、初期エネルギーに依存しないグローバルコンパクト吸引子を有する可能性はあるか？
• RQ2 束縛状態を含むポテンシャルが、エネルギー下位臨界的・質量上位臨界的領域において、漸近的完全性をどの程度破壊するか？
• RQ3 非線形束縛状態が存在する場合、解のエネルギーは $ t \to +\infty $ の際にどのように漸近的に分布するか？
• RQ4 ポテンシャルが非ゼロで束縛状態を含んでも、吸引子構造は保たれるか、たとえそれが大きくまたは負であってもかまわないか？
• RQ5 球対称性は、エネルギー空間におけるグローバル吸引子の存在を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• $ d \geq 11 $ に対して、ポテンシャル付き発散型 NLS の球対称解は、放射項と、$ H^1 $ でコンパクト吸引子 $ K $ に収束する剰余項に分解される。
• 吸引子 $ K $ は、初期データのエネルギーに依存しない、NLSフローの球対称ほぼ周期的軌道の和集合から成る。
• 任意に大きな初期データに対しても、$ t \to +\infty $ の際にエネルギーのほとんどが無限遠へ放射され、吸引子のグローバル性が確認される。
• ポテンシャル $ V $ が任意であっても、たとえ大きくかつ負であっても、滑らかで台がコンパクトであれば、結果は成り立つ。
• 解 $ u $ の衰減推定を精緻化することで、次元要件 $ d \geq 11 $ を $ d \geq 9 $ にまで低下させられ、さらに $ \nabla u $ の衰減を推定することで $ d \geq 7 $ にまで可能となる。
• ポテンシャル $ V $ および $ \nabla V $ が多項式的衰減を示す場合でも、十分な正則性が保たれていれば、吸引子構造は頑健に保たれる。