[論文レビュー] A Global Hartman-Grobman Theorem

X. Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2020

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、双曲的平衡点の吸引域（または排斥域）全体にわたるグローバルなホメオモルフィズムを構成することで、古典的な Hartman-Grobman 定理を拡張している。非線形系を座標変換により線形系に変換する。変換はカットオフ関数を用いたフロー積分によって定義され、すべての固有値が複素平面の左半分または右半分にある場合には、グローバル微分同相写像であることが示されている。

ABSTRACT

We showed that for any bounded neighborhood of a hyperbolic equilibrium point $x_0$, there is a transformation which is locally homeomorphism, such that the system is changed into a linear system in this neighborhood. If the eigenvalues of $Df(x_0)$ are all located in the left-half complex plane, then there is a homeomorphism on the whole region of attraction such that the nonlinear system on the region of attraction is changed into a linear system under such a coordinate change.

研究の動機と目的

• 双曲的平衡点の局所的 Hartman-Grobman 定理を、吸引域または排斥域のグローバル領域に一般化すること。
• 非線形系を線形化するグローバルな座標変換が存在するための条件を確立すること。
• すべての固有値が左半平面にある場合に、吸引域全体にわたるグローバルホメオモルフィズムを構成することで、局所的微分同相写像の制限を克服すること。
• フロー積分と滑らかなカットオフ関数を用いて、共役変換の明示的構成を提供すること。
• 変換が吸引域上でグローバルホメオモルフィズムであることを証明し、写像およびその逆写像の逆写像の連続性と可逆性を保証すること。

提案手法

• 半径 M から M+ε の間で 1 から 0 に滑らかに変化するカットオフ関数 α(x) を定義し、非線形項を局所化する。
• 有界近傍 N_M 内で摂動を局所化するため、修正された非線形ベクトル場 Ŵ(x) = W(α(x)x) を構成する。
• フロー ϕ_t(x) を用いて、∫₀^∞ e^{-Ps} Ŵ₁(ϕ_s(x)) ds および ∫_{-∞}^0 e^{-Ns} Ŵ₂(ϕ_s(x)) ds の形の積分を用いて、変換 H(x) を定義する。
• DH(0) = I であるため、逆関数定理を用いて、原点近傍で H が局所的ホメオモルフィズムであることを証明する。
• 微分の連鎖律を検証することで、H を通じて非線形系 ẋ = f(x) が N_M 内で線形系 ẏ = Ay に変換されることを示す。
• フローの連続性と漸近安定性を用いて、H が双射であること、連続であること、および逆写像が連続であることの証明により、変換を吸引域全体に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的平衡点の吸引域の局所的近傍を超えて、Hartman-Grobman 定理をグローバルに拡張することは可能か？
• RQ2 非線形系がその吸引域上でグローバルホメオモルフィズムによって線形化可能となる条件は何か？
• RQ3 フロー積分とカットオフ関数を用いて、明示的なグローバル共役写像を構成することは可能か？
• RQ4 有界領域内に複数の平衡点が存在する場合、なぜ変換がグローバルホメオモルフィズムでなくなるのか？
• RQ5 固有値のスペクトル的性質（左半平面または右半平面に位置する）は、系のグローバル線形化にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の双曲的平衡点の有界近傍 N_M に対して、非線形系 ẋ = f(x) が N_M 内で ẏ = Ay に線形化される局所的ホメオモルフィズム H が存在する。
• Df(0) のすべての固有値が複素平面の左半平面にある場合、変換 H は原点の吸引域全体にわたってグローバルホメオモルフィズムに拡張される。
• グローバル共役写像 H は、滑らかなカットオフ関数を用いて非線形項を局所化することで、H(x) = x + ∫₀^∞ e^{-Ps} Ŵ₁(ϕ_s(x)) ds - ∫_{-∞}^0 e^{-Ns} Ŵ₂(ϕ_s(x)) ds として構成される。
• 写像 H は、吸引域から ℝⁿ へのグローバル微分同相写像であり、非線形系がその線形化と位相的共役であることを保証する。
• 逆写像 H⁻¹ は連続であり、フローの連続性により、H および H⁻¹ は初期条件に関して連続である。
• 特別な場合、∫₀^∞ e^{-τA}W(ϕ_τ(x)) dτ が収束するとき、変換は h(x) = ∫₀^∞ e^{-τA}W(ϕ_τ(x)) dτ に簡略化され、カットオフ関数を用いずにグローバル共役性が得られる。