[論文レビュー] A global theory of algebras of generalized functions

Michael Grosser, Michael Kunzinger+2 more|ArXiv.org|Dec 28, 1999

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、滑らかな多様体上の一般化関数の代数のグローバルで幾何学的な理論を展開し、分布と滑らかな関数を拡張する微分代数 $\u02c7{\mathcal G}(M)$ を構成する。この代数はリー微分を保存する。主な貢献は、局所座標に依存せず、便利なベクトル空間における微分積分学に基づいた内因的で便利な構成法であり、${\mathcal D}'(M)$ が $\u02c7{\mathcal G}(M)$ に忠実に埋め込まれ、リー微分と可換となる。これにより、局所的な一般化関数理論がグローバルな微分幾何的枠組みで統一される。

ABSTRACT

We present a geometric approach to defining an algebra $\hat{\mathcal G}(M)$ (the Colombeau algebra) of generalized functions on a smooth manifold $M$ containing the space ${\mathcal D}'(M)$ of distributions on $M$. Based on differential calculus in convenient vector spaces we achieve an intrinsic construction of $\hat{\mathcal G}(M)$. $\hat{\mathcal G}(M)$ is a{\em differential} algebra, its elements possessing Lie derivatives with respect to arbitrary smooth vector fields. Moreover, we construct a canonical linear embedding of ${\mathcal D}'(M)$ into $\hat{\mathcal G}(M)$ that renders ${\mathcal C}^\infty (M)$ a faithful subalgebra of $\hat{\mathcal G}(M)$. Finally, it is shown that this embedding commutes with Lie derivatives. Thus $\hat{\mathcal G}(M)$ retains all the distinguishing properties of the local theory in a global context.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上の一般化関数の代数のグローバルで幾何学的な枠組みを構築し、局所的構成を超えて拡張すること。
• ${\mathcal D}'(M)$ の空間を微分代数の一般化関数 $\u02c7{\mathcal G}(M)$ に標準的かつ線形に埋め込むこと。
• $\u02c7{\mathcal G}(M)$ 内部で滑らかな関数 ${\mathcal C}^\infty(M)$ が忠実な部分代数をなすことの保証。
• 埋め込みがリー微分と可換であること、つまり微分幾何的演算と整合性を保つこと。
• 便利なベクトル空間における内因的な微分積分学を用いて、コロンベールの一般化関数の局所的理論のグローバル版を提供すること。

提案手法

• 局所座標に依存せず、便利なベクトル空間における微分積分学を用いて、代数 $\u02c7{\mathcal G}(M)$ を内因的に構成すること。
• 一般化関数を滑らかな関数のネットの同値類として定義し、便利な積分学によって成長条件を制御すること。
• 分布の構造を保つ標準的かつ線形な埋め込み $\iota: {\mathcal D}'(M) \to \u02c7{\mathcal G}(M)$ を定義すること。
• 任意の滑らかなベクトル場に沿ったリー微分と可換になるように埋め込みを保証することにより、幾何的整合性を確保すること。
• $\u02c7{\mathcal G}(M)$ が微分代数であること、つまりすべての要素に対してリー微分が存在し、適切に定義されることを検証すること。
• ${\mathcal C}^\infty(M)$ が $\u02c7{\mathcal G}(M)$ の忠実な部分代数として含まれることを確立し、埋め込みが単射かつ乗法と両立されることを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コロンベールの一般化関数理論を、局所座標に依存しないグローバルで多様体ベースの枠組みにどのように拡張できるか。
• RQ2 一般化関数がリー微分に関して閉じるための適切な微分幾何的構造は何か。
• RQ3 代数的および微分的性質を両方保つ、分布から一般化関数への標準的かつ線形な埋め込みを構成できるか。
• RQ4 滑らかな関数をグローバルな一般化関数代数内に忠実な部分代数として埋め込むにはどうすればよいか。
• RQ5 グローバルな構成が、局所理論と同様に、埋め込みとリー微分の可換性を保つか。

主な発見

• $\u02c7{\mathcal G}(M)$ は、便利なベクトル空間における微分積分学を用いて内因的に構成され、滑らかな多様体上でグローバルな整合性が保証される。
• 分布の空間 ${\mathcal D}'(M)$ は $\u02c7{\mathcal G}(M)$ に線形的かつ標準的に埋め込まれ、分布的演算が保たれる。
• ${\mathcal C}^\infty(M)$ の $\u02c7{\mathcal G}(M)$ への埋め込みは忠実であり、情報や構造の損失がない。
• 任意の滑らかなベクトル場に沿った $\u02c7{\mathcal G}(M)$ 内の一般化関数のリー微分は適切に定義され、同じ代数に属する。
• 分布の $\u02c7{\mathcal G}(M)$ への埋め込みはリー微分と可換であり、幾何的整合性が保たれる。
• この構成は、局所的なコロンベール理論を、すべての本質的性質を保持したまま、グローバルな微分幾何的設定に一般化する。