[論文レビュー] A global theory of algebras of generalized functions II: tensor distributions

Michael Grosser, Michael Kunzinger+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2009

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 43被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体上の一般化テンソル場のグローバル理論を、微分同相変換不変なコロンベール代数をテンソリアル対象へ拡張することで構築する。シュワルツの不可能性結果を、内在的な幾何的構成によって克服する。主な貢献は、滑らかさを保ち、リー微分と可換する分布的テンソル場の普遍代数への標準埋め込みを確立することであり、非線形分布的幾何学および正則性が低い時空における一般相対性理論への応用を可能にする。

ABSTRACT

We extend the construction of [19] by introducing spaces of generalized tensor fields on smooth manifolds that possess optimal embedding and consistency properties with spaces of tensor distributions in the sense of L. Schwartz. We thereby obtain a universal algebra of generalized tensor fields canonically containing the space of distributional tensor fields. The canonical embedding of distributional tensor fields also commutes with the Lie derivative. This construction provides the basis for applications of algebras of generalized functions in nonlinear distributional geometry and, in particular, to the study of spacetimes of low differentiability in general relativity.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上の一般化関数代数のグローバル理論をテンソル場へ拡張すること。
• コロンベール理論におけるテンソル積の不可能性結果が、内在的な幾何的構成によって克服されること。
• 分布的テンソル場を自然に含む普遍の一般化テンソル場代数の構成。
• 分布的テンソル場の標準埋め込みがリー微分と可換であり、幾何的整合性を保つこと。
• 正則性が低い時空における非線形分布的幾何学および一般相対性理論への応用の基盤を提供すること。

提案手法

• 先行研究におけるスカラーの場合の一般化を、多様体上での微分同相変換不変な完全なコロンベール代数として、内在的に定義された構成要素を用いて拡張する。
• 一般化テンソル場を、滑らかな写像の指数法則を活用した、積多様体上の引き戻しバンドルの切断として定義する。
• 滑らかさと分布的極限との整合性を保つために、輸送作用素と出生ベクトル空間における便利な解析学を用いる。
• 一般化されたテンソル場と分布的テンソル場の間の整合性を保証するための道具として、関連性（association）を定義する。
• 滑らかさを保ち、リー微分と可換する分布的テンソル場の一般化代数への標準埋め込みを確立する。
• ベクターバンドルの引き戻し構造と一貫した局所切断の族を用いて、一般化テンソル場をグローバルに定義・特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな多様体上に、分布的テンソル場を拡張するグローバルで微分同相変換不変な一般化テンソル場代数を構成できるか？
• RQ2 分布のテンソル積に関するシュワルツの不可能性結果を、幾何的かつ整合的な方法で回避できるか？
• RQ3 分布的テンソル場の一般化代数への標準埋め込みが、リー微分演算子と可換であるか？
• RQ4 便利な解析学と出生同型写像が、一般化テンソル場の滑らかさを保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 一般化されたテンソル場と分布的テンソル場の間の関連性（association）をどのように定義すれば、古典的分布論と整合的になるか？

主な発見

• 分布的テンソル場の空間を自然に含む普遍の一般化テンソル場代数が構成され、コロンベール理論における自然なテンソル積の欠如を解決した。
• 分布的テンソル場の一般化代数への標準埋め込みは、便利な解析学の意味で滑らかであり、滑らかな構造と整合性を保つ。
• 埋め込みはリー微分と可換であり、微分同相変換下での幾何的整合性が保たれる。
• 引き戻しバンドルと一貫した局所切断の族を用いた内在的な幾何的構造を導入することで、テンソリアルなシュワルツの不可能性結果を克服した。
• 一般化されたテンソル場と分布的テンソル場の間の関連性（association）が定義され、古典的分布論への橋渡しを可能にし、後向きの整合性を実現した。
• 構成は出生同型写像と指数法則に依存しており、一般化テンソル場が適切なベクターバンドルの滑らかな切断として適切に定義されることを保証した。