[論文レビュー] A gluing construction of K3 surfaces

Takayuki Koike, Takato Uehara|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{P}^2$ の一般の9点における吹き上げにおける楕円曲線のチューブ型近傍の補集合である2つの開複素曲面を貼り合わせることで、K3表面の新規な貼り合わせ構成を提示する。得られるK3表面の族は19次元のモジュライを持ち、一般パラメータでは、ファイバーは非射影的かつ非Kummer的で、ピカール数が0であり、$S^1 \times S^1 \times S^1$ に微分同相な$C^\omega$ レヴィフラット超曲面の1パラメータ族を有し、それぞれは $\mathbb{C}$ や $\mathbb{C}^*$ にbiholomorphicな稠密な葉を持つ。この構成により、非代数的幾何と特異な全純動学的構造を持つK3表面が実現される。

ABSTRACT

We develop a new method for constructing K3 surfaces. We construct such a K3 surface $X$ by patching two open complex surfaces obtained as the complements of tubular neighborhoods of elliptic curves embedded in blow-ups of the projective planes at general nine points. Our construction has $19$ complex dimensional degrees of freedom. For general parameters, the K3 surface $X$ is neither Kummer nor projective. By the argument based on the concrete computation of the period map, we also investigate which points in the period domain correspond to K3 surfaces obtained by such construction.

研究の動機と目的

• 非代数的K3表面の明示的幾何的構成における空白を埋めるために、射影的でもKummer的でもないK3表面を構成する新しい手法を開発すること。
• 一般の9点における$\mathbb{P}^2$ の吹き上げにおける楕円曲線のチューブ型近傍の補集合を用いた全純貼り合わせ手順を確立すること。
• 得られるK3表面が、稠密な全純葉を有する$C^\omega$ レヴィフラット超曲面の1パラメータ族を有することを示すこと。
• 構成された族の周期写像の像を分析し、その周期領域内のどの点がこのようなK3表面に対応するかを同定すること。
• 全空間に稠密な像を持つ全純写像 $\mathbb{C} \to X$ が存在することを示し、そのEuclidean閉包はコンパクトであるがZariski閉包は全体空間に一致するという事実から、非代数的動学的構造を明らかにすること。

提案手法

• 構成は、$\mathbb{P}^2$ に含まれる同型な2つの楕円曲線 $C_0^\pm$ から出発し、それぞれが一般の9点 $Z^\pm$ を含む。これらを用いて $S^\pm$ を$\mathbb{P}^2$ の吹き上げとして構成する。
• 厳密な像 $C^\pm \subset S^\pm$ は楕円曲線であり、それらのチューブ型近傍の補集合 $M^\pm$ は、貼り合わせに用いる開複素曲面である。
• 境界同士を全純同型写像で同一視することで貼り合わせを実現する。このとき、法束のモノドロミーがディオファントス的条件を満たす必要があり、全純延長可能性を保証する。
• 平坦な線束 $N \in \mathrm{Pic}^0(C)$ に対するディオファントス的条件により、任意の $n$ に対して $N^n$ が全純的に自明でないことが保証され、これはレヴィフラットfoliationの存在に不可欠である。
• 19次元の基底 $B$ から周期領域へのモジュライ写像の局所的単射性を確認するために、周期写像の明示的計算に依拠する。
• レヴィフラット超曲面 $H_t$ の存在は、$N$ がトーラス的でない平坦線束で、曲率0の計量 $h$ を持つとき、$\{x \in N \mid |x|_h = t\}$ のレベル集合 $t \in (a,b)$ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の9点における$\mathbb{P}^2$ の吹き上げにおける楕円曲線のチューブ型近傍の補集合を用いた、K3表面の全純貼り合わせ構成は可能か？
• RQ2 9点の配置と関連する線束にどのような条件を課すと、貼り合わせ写像の全純延長が保証されるか？
• RQ3 この貼り合わせ法によって構成されたK3表面に対応する周期領域内の点はどのようになるか？
• RQ4 このようなK3表面は、稠密な全純葉を有する$C^\omega$ レヴィフラット超曲面の1パラメータ族を有するか？
• RQ5 このようなK3表面は、Zariski位相において稠密な像を持つ全純写像 $\mathbb{C} \to X$ を持つだろうか？ ただし、そのEuclidean閉包は$X$ のコンパクトな真部分集合である。

主な発見

• 構成により、19次元の全純族 $\pi: \mathcal{X} \to B$ が得られ、周期写像が局所的に単射であることが確認され、モジュライ空間の次元が期待通りであることが裏付けられる。
• 一般パラメータでは、族に属するK3表面のピカール数は0であり、これはそれらが非射影的かつ非Kummer的表面であることを示している。
• 各ファイバーは、$S^1 \times S^1 \times S^1$ に微分同相な$C^\omega$ レヴィフラット超曲面の族 $\{H_t\}_{t \in I}$ を有し、それぞれの葉は $\mathbb{C}$ や $\mathbb{C}^*$ にbiholomorphicである。
• レヴィフラットfoliationの葉は $H_t$ 内で稠密であり、葉の全純構造は、曲率0計量を伴うトーラス的でない平坦線束 $N \to C$ から生じる。
• 構成により、Zariski閉包が全体空間に一致するが、Euclidean閉包が$X$ のコンパクトな真部分集合であるような全純写像 $f: \mathbb{C} \to X$ を持つK3表面$X$ が実現される。これは非代数的全純動学的構造を示している。
• 平坦線束 $N$ に対するディオファントス的条件により、モノドロミーが十分に無理数的になることが保証され、これは全純貼り合わせが成功し、レヴィフラット構造が存在するための必要十分条件である。