[論文レビュー] A gradient method for inconsistency reduction of pairwise comparisons matrices

Jean-Pierre Magnot, Jiří Mazurek+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2021

Multi-Criteria Decision Making参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、不一致指標を最小化するためのポテンシャル関数として扱うことで、ペアワイズ比較（PC）行列の不一致を低減する勾配ベースの手法を提案する。Koczkodajの指標やさまざまな平均化手法を含む一連の不一致指標に対して勾配降下法を適用することにより、一貫性のない一貫性化手順が得られ、不一致指標の選択が最終的な一貫性行列および優先度ベクトルに顕著に影響することを明らかにする。

ABSTRACT

We investigate an application of a mathematically robust minimization method -- the gradient method -- to the consistencization problem of a pairwise comparisons (PC) matrix. Our approach sheds new light on the notion of a priority vector and leads naturally to the definition of instant priority vectors. We describe a sample family of inconsistency indicators based on various ways of taking an average value, which extends the inconsistency indicator based on the "$\\sup$"- norm. We apply this family of inconsistency indicators both for additive and multiplicative PC matrices to show that the choice of various inconsistency indicators lead to non-equivalent consistencization procedures.

研究の動機と目的

• 既存の不一致低減アルゴリズムが、使用している不一致指標と明確に結びついていないという、厳密な根拠の欠如に応えること。
• 不一致指標を勾配降下法による最小化対象となるポテンシャル関数として扱うことで、一貫性化問題を再定式化すること。
• 構造的に類似した指標であっても、異なる不一致指標が非同等な一貫性行列をもたらすことを示すこと。
• 選択された不一致指標に応じて動的に変化する「インスタント優先度ベクトル」の概念を導入し、静的優先度導出法とは対照的にすること。
• 最大不一致の最小化（例：Koczkodajの指標）に限定するパラダイムに挑戦し、すべての三元組にわたる不一致を平均化する指標を提唱することで、よりバランスの取れた一貫性向上のあり方を提示すること。

提案手法

• PC行列の空間上で微分可能なポテンシャル関数として不一致指標を形式化し、勾配ベース最適化を可能にする。
• 古典的勾配法を用いて不一致指標を最小化し、行列要素を勾配の最も急な下り方向に更新する。
• 算術平均、平方平均、立方平均、調和平均を用いた、すべての三元組の不一致を平均化する一連の不一致指標の定義。
• 加法的および乗法的PC行列の両方に対してこの手法を拡張し、行列タイプの選択が得られる一貫性行列に影響することを示す。
• 勾配プロセスの動的出力として「インスタント優先度ベクトル」の概念を導入し、現在の不一致指標および行列状態に依存することを明確にする。
• 数値実験を通じて、異なる不一致指標および行列タイプにおける収束性と最終的な行列構造を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配ベースの最小化を用いる場合、不一致指標の選択が得られる一貫性PC行列にどのように影響するか。
• RQ2 平均化スキーム（例：算術平均対調和平均）が異なる一連の不一致指標に勾配法を効果的に適用できるか。
• RQ3 不一致指標と得られる優先度ベクトルの関係は何か。勾配法は、指標に依存する一貫性のある優先度ベクトルを生成するか。
• RQ4 最大不一致の最小化（例：Koczkodajの指標を用いて）が、実際の応用において不十分または誤解を招く可能性があるのはなぜか。
• RQ5 加法的および乗法的PC行列は、同じ勾配ベースの不一致低減手順に対してどのように異なる反応を示すか。

主な発見

• 勾配法はPC行列の不一致を効果的に低減し、不一致指標の選択に応じて一貫性が保証された異なる非同等な一貫性行列を生成する。
• $4 \times 4$ PC行列において、係数 $a_{2,4}^{(n)}$ は指標およびパrameter設定に応じて約 0.986 から 2.654 まで顕著に変動し、指標選択への感受性を示している。
• 本手法は、不一致指標に依存する本質的な「インスタント優先度ベクトル」を生成し、普遍的な優先度ベクトルの仮定に疑問を呈する。
• 古典的最小化手法が特定の不一致指標に本質的に結びついていないことが明らかになり、理論的根拠および実用的同等性に関する疑問を提起する。
• 数値結果から、類似した不一致指標（例：異なる平均化手法）であっても、収束経路および最終的な行列構造が異なることが示された。
• 本研究は、Koczkodajの指標による最大不一致の唯一の最小化に焦点を当てる傾向を批判し、すべての三元組の不一致を平均化することで、よりバランスの取れて現実的である一貫性向上のあり方を提唱する。