[論文レビュー] A Graph Theoretical Approach to Network Encoding Complexity

Li Xu, Weiping Shang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2012

Interconnection Networks and Systems参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有向非巡回ネットワークにおけるメルジャーのパスの重合をモデル化することで、ネットワーク符号化複雑度をグラフ理論的枠組みで分析する手法を提案する。定数 $\mathcal{M}(c_1,\dots,c_l)$ および $\mathcal{M}^*(c_1,\dots,c_l)$ を定義し、複数セッションにわたるパスの重合回数の最小値を制限することで、パス連結および構造的分解技法を用いて、マルチキャスト、双方向、ユニキャストネットワークにおける符号化複雑度のタイトな下界および正確な値を導出する。

ABSTRACT

Consider an acyclic directed network $G$ with sources $S_1, S_2,..., S_l$ and distinct sinks $R_1, R_2,..., R_l$. For $i=1, 2,..., l$, let $c_i$ denote the min-cut between $S_i$ and $R_i$. Then, by Menger's theorem, there exists a group of $c_i$ edge-disjoint paths from $S_i$ to $R_i$, which will be referred to as a group of Menger's paths from $S_i$ to $R_i$ in this paper. Although within the same group they are edge-disjoint, the Menger's paths from different groups may have to merge with each other. It is known that by choosing Menger's paths appropriately, the number of mergings among different groups of Menger's paths is always bounded by a constant, which is independent of the size and the topology of $G$. The tightest such constant for the all the above-mentioned networks is denoted by $\mathcal{M}(c_1, c_2,..., c_2)$ when all $S_i$'s are distinct, and by $\mathcal{M}^*(c_1, c_2,..., c_2)$ when all $S_i$'s are in fact identical. It turns out that $\mathcal{M}$ and $\mathcal{M}^*$ are closely related to the network encoding complexity for a variety of networks, such as multicast networks, two-way networks and networks with multiple sessions of unicast. Using this connection, we compute in this paper some exact values and bounds in network encoding complexity using a graph theoretical approach.

研究の動機と目的

• エッジに素なメルジャーのパスとその重合に基づいて、ネットワーク符号化複雑度を分析するためのグラフ理論的モデルを構築すること。
• 異なるソース・シンクペアからのメルジャーのパス間の最小重合回数を定義・計算し、$\\mathcal{M}$ および $\\mathcal{M}^*$ で表す。これは符号化複雑度と直接関係する。
• 部分ネットワークの構造的連結を用いて、マルチキャスト、双方向、マルチセッションユニキャストなどのさまざまなネットワークタイプにおける符号化複雑度のタイトな下界を導出すること。
• パスの重合とネットワーク符号化の必要性との関係を形式化し、重合点が符号化を必要とするボトルネックとして機能することを示すこと。

提案手法

• ソース $S_i$、シンク $R_i$ を持ち、$S_i$ と $R_i$ 間の最小カットを $c_i$ として、有向非巡回ネットワークをモデル化する。
• 重合とは、異なるソース・シンクペアからの少なくとも2本のメルジャーのパスが、あるエッジで合流し、その後同じ部分パスを共有して進行することを定義する。
• メルジャーの定理を用いて、$S_i$ から $R_i$ へ $c_i$ 本のエッジに素なパスが存在することを保証し、これによりメルジャーのパス群を形成する。
• $|G|_{\mathcal{M}}(\alpha_1,\dots,\alpha_l)$ を、重合エッジの重複を除いた、すべてのパス群にわたる異なる重合エッジの数として定義する。
• 部分グラフの逆エッジ化、ソースおよびシンクの分割、ノードの同一視により、より大きなネットワークを構築する非再ルーティング可能なグラフを構成する。
• $(k-1)$ 個の部分グラフを再帰的に連結することで、$(n_1,\dots,n_k)$-グラフを構築し、重合数を保持するとともに、帰納的下界を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた最小カットを持つネットワークにおいて、異なるソース・シンクペアからのメルジャーのパス間の最小重合回数は何か？
• RQ2 定数 $\mathcal{M}(c_1,\dots,c_l)$ および $\mathcal{M}^*(c_1,\dots,c_l)$ は、マルチキャストおよび双方向通信におけるネットワーク符号化複雑度とどのように関係するか？
• RQ3 重合回数はネットワークのサイズやトポロジーに依存せずに上限を持つことができるか？ そのタイトな下界は何か？
• RQ4 パス連結技法を用いて、マルチセッションネットワークにおける符号化複雑度の下界をどのように導出できるか？
• RQ5 ネットワークのどの構造的性質がネットワーク符号化を必要とするのか？ また、それらはメルジャーのパスの重合点とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、異なるソース・シンクペアからのメルジャーのパス間の重合回数が、ネットワークのサイズやトポロジーに依存しない定数によって制限されることを確立する。
• $l$ 個の異なるソースおよびシンクを持つネットワークにおいて、最小重合回数は $\mathcal{M}(c_1,\dots,c_l)$ で表され、同じソースを持つ場合には $\mathcal{M}^*(c_1,\dots,c_l)$ で表される。
• 本稿では $\mathcal{M}(n,n) \geq \mathcal{M}^*(n+1,n+1) + \mathcal{M}^*(n-1,n-1) + (n-1)$ を証明し、符号化複雑度の再帰的下界を提供する。
• $n_1 \leq \cdots \leq n_k$ に対して、不等式 $\mathcal{M}^*(n_1,\dots,n_k) \geq \sum_{i=1}^{k-1} \mathcal{M}^*(n_i,n_i)$ が導出され、セッション数の増加に伴い複雑度が増加することを示す。
• 著者らは、重合点が符号化を必要とするボトルネックであることを示し、このような点の数が最小符号化コストを直接決定することを示す。
• グラフ連結を用いて、重合回数を制御可能な非再ルーティング可能なネットワークを構築し、符号化複雑度の正確な計算およびタイトな下界の導出を可能にする。