[論文レビュー] A graphical approach to the Drinfeld centre

Leonard Hardiman|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、球面的融合カテゴリ C の Drinfeld 中心 Z(C) を、チューブカテゴリ TC を用いて図式的枠組みで提示する。これは、円筒上のイデムポテン（idempotent）を用いた半バーリング構造の位相的解釈を提供する。C がモジュラーである場合、Z(C) と C ⊠ C の同型性について、図式的計算を用いて新たな証明を行う。その際、自然な函手 Φ: C ⊠ C → Z(C) の像が、TC 内の完全な直交原始イデムポテンツの集合に対応することを示し、イデムポテンツ完備化と次元数え上げを用いて同型を確立する。

ABSTRACT

Let $\mathcal{C}$ be a spherical fusion category. The goal of this article is to present the tube category of $\mathcal{C}$, denoted $\mathcal{TC}$, as giving an alternative graphical perspective on the Drinfeld centre of $\mathcal{C}$, denoted $Z(\mathcal{C})$. We then exploit this perspective to obtain an alternative proof of the equivalence between $Z(\mathcal{C})$ and $\mathcal{C} \boxtimes \bar{\mathcal{C}}$ when $\mathcal{C}$ is modular. Sections 2-4 provide a survey of the required prerequisites; readers already familiar with graphical calculus in fusion categories should start at Section 5.

研究の動機と目的

• 球面的融合カテゴリ C の Drinfeld 中心 Z(C) を、チューブカテゴリ TC を用いて図式的かつ位相的に解釈すること。
• ヤオネダ埋め込みと半バーリングデータを介して、Z(C) の対象と TC 内のイデムポテンツとの間の対応を確立すること。
• チューブカテゴリの構造を用いて、C がモジュラーである場合の Z(C) と C ⊠ C の同型性について、図式的証明を提供すること。
• イデムポテンツ完備化を通じて、オクネアヌのチューブ代数と Z(C) のカテゴリカル構造との関係を形式化すること。

提案手法

• チューブカテゴリ TC を、C の対象を対象とし、円筒上に描かれる図式で記述される半バーリングデータを含む射からなる圏として定義する。
• 各 X 上の半バーリング τ に対して、X における射 EndTC(X) 内のイデムポテンツ ǫτ を構成し、これは Yoneda 埋め込みによる (X, τ) ∈ Z(C) の像を分類する。
• ヤオネダ埋め込みを用いて、RT C（TC のイデムポテンツ完備化）が Z(C) と同型であることを示し、半バーリングとイデムポテンツ構造の間の対応を通じてそれを確立する。
• 図式的計算を用いて、イデムポテンツ ǫYX = 1/d(C) ⊗S d(S) · (X ⊗Y →S →X ⊗Y) を用い、函手 Φ: C ⊠ C → Z(C) による X ⊠ Y の像を表現する。
• HomT C(ǫYX, ǫBA) を計算し、それが HomC(X,A) ⊗ HomC(Y,B) に同型であることを示すことで、集合 {ǫJ_I}I,J∈Irr(C) が TC 内で完全な直交原始イデムポテンツの集合であることを証明する。
• 次元数え上げとキリング環の補題を適用し、合成写像 ∑IJ HomT C(X, ǫJ_I) ⊗ HomT C(ǫJ_I, Y) → HomT C(X,Y) が同型であることを証明することで、Φ が全射的かつ本質的に全射的であることを示し、C がモジュラーであるときの同型 Z(C) ≅ C ⊠ C を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面的融合カテゴリ C の Drinfeld 中心 Z(C) を、円筒上の位相的図式を用いてどのように図式的に解釈できるか？
• RQ2 チューブカテゴリ TC は、イデムポテンツ完備化を通じて Drinfeld 中心を実現する際、どのようなカテゴリカルな役割を果たすか？
• RQ3 図式的イデムポテンツ ǫτ ∈ EndTC(X) は、Z(C) 内の X 上の半バーリング τ とどのように対応するか？
• RQ4 モジュラーカテゴリにおいて Z(C) ≅ C ⊠ C が、TC 内の図式的計算を用いて再証明可能か？
• RQ5 集合 {ǫJ_I}I,J∈Irr(C) が TC 内で完全な直交原始イデムポテンツの集合をなすための条件は何か？

主な発見

• ヤオネダ埋め込み ¥: TC → RT C はイデムポテンツ完備化であるため、RT C ≅ Z(C) が成り立ち、TC が Z(C) の図式的モデルを提供することを確立する。
• TC 内のイデムポテンツ ǫτ = 1/d(C) ⊗S d(S) · (X →S →X) は、X 上の半バーリング τ に正確に対応し、Yoneda 埋め込みによる (X, τ) ∈ Z(C) の像を実現する。
• 函手 Φ: C ⊠ C → Z(C) は全単射的である。なぜなら、写像 f⊗g ↦ ǫBA ◦ (f⊗g) ◦ ǫYX を通じて、HomT C(ǫYX, ǫBA) ≅ HomC(X,A) ⊗ HomC(Y,B) が成り立つからである。
• 集合 {ǫJ_I}I,J∈Irr(C) は、次元数え上げとキリング環の補題により、TC 内で完全な直交原始イデムポテンツの集合である。
• 合成写像 ∑IJ HomT C(X, ǫJ_I) ⊗ HomT C(ǫJ_I, Y) → HomT C(X,Y) が同型であるため、Φ は本質的に全射的であり、C がモジュラーであるときの同型 Z(C) ≅ C ⊠ C を証明する。
• 逆に、C がモジュラーでない場合、Φ は同型でなくなる。これは、ǫI_I∨ と ǫ1_1 間に非自明な射が存在することにより、S 行列の退化を示唆する。