[論文レビュー] A Gromov-Witten theory for simple normal-crossing pairs without log geometry

Hsian‐Hua Tseng, Fenglong You|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、対 $(X,D)$ が単純な正則交叉対である場合に、対数幾何を用いずに、多重ルート層のGromov-Witten不変量の根の次数 $r_i \to \infty$ の際の定数項極限を取ることで、新しいGromov-Witten理論を構築する。得られる理論は、正および負の接触順序をもつ相対不変量を捉え、Givental形式的構造やVirasoro制約といった主要な構造を満たし、鏡対称性やFrobenius構造予想への応用を含む、対数的Gromov-Witten理論の計算可能な代替手段を提供する。

ABSTRACT

We define a new Gromov-Witten theory relative to simple normal crossing divisors as a limit of Gromov-Witten theory of multi-root stacks. Several structural properties are proved including relative quantum cohomology, Givental formalism, Virasoro constraints (genus zero) and a partial cohomological field theory. Furthermore, we use the degree zero part of the relative quantum cohomology to provide an alternative mirror construction of Gross-Siebert and to prove the Frobenius structure conjecture of Gross-Hacking-Keel.

研究の動機と目的

• 単純な正則交叉対 $(X,D)$ に対して、対数幾何に依存しないGromov-Witten理論を定義すること。
• 多様なルート層のGromov-Witten不変量が根の次数 $r_i$ に関して多項式であることを示し、この多項式の定数項として理論を定義すること。
• genus zero において、相対量子コホモロジー、Givental形式的構造、Virasoro制約といった構造的性質を確立すること。
• Gross-Siebertの構成の代替鏡構成を、相対量子コホモロジーの次数ゼロ部分として提供すること。
• Gross-Hacking-KeelのFrobenius構造予想を、この新しい理論の文脈で証明すること。

提案手法

• 互いに素な $r_i$ を用いて、多様なルート層 $X_{D,\vec{r}}$ のGromov-Witten理論を定義し、genus $g > 0$ の不変量が $r_i$ に関して多項式であることを証明する。
• $r_i \to \infty$ の際の $r_i$ に関する多項式の定数項をとることで、新しい理論を定義し、これは無限大ルート層 $X_{D,\infty}$ のGromov-Witten理論と解釈される。
• 局所化および崩壊技術を用いて、ルート層設定下での不変量の多項式性を証明する。
• 相対量子コホモロジー環を構成し、genus-zero 不変量におけるGivental形式的構造を確立する。
• string、dilaton、除数、WDVV方程式およびgenus zeroにおける位相的再帰関係を証明する。
• 形式的Gromov-Witten理論 $X_{D,\infty}$ が、ループ公理を除くすべての公理を満たす部分cohomological field theory（部分CohFT）を形成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純な正則交叉対に対して、対数幾何を用いずにGromov-Witten理論を定義できるか？
• RQ2 多様なルート層のGromov-Witten不変量の定数項は、負の接触順序をもつ相対不変量とどのように関係するか？
• RQ3 得られる理論は、Givental形式的構造やVirasoro制約といった標準的なGromov-Witten構造を満たすか？
• RQ4 この理論を用いて、$(X,D)$ の鏡を構成できるか？また、Gross-Siebertの構成を回復できるか？
• RQ5 Gross-Hacking-KeelのFrobenius構造予想は、この文脈で満たされるか？

主な発見

• 多様なルート層 $X_{D,\vec{r}}$ のGromov-Witten不変量は、根の次数 $r_i$ に関して多項式であり、その定数項は $(X,D)$ の相対不変量に対応する。
• genus-zero の多様なルート層 $X_{D,\vec{r}}$ のGromov-Witten不変量は、十分大きな $r_i$ に対して $r_i$ に依存しない。これは、無限大ルート層の極限を正当化する。
• 新しい理論は、genus zero において、位相的再帰関係、WDVV方程式、およびstring/dilaton/divisor方程式を満たす。
• 理論はGivental形式的構造を備え、genus zero においてVirasoro制約を満たす。
• 相対量子コホモロジー環の次数ゼロ部分は、Gross-Siebertの鏡構成を実現する鏡代数を提供する。
• 形式的Gromov-Witten理論 $X_{D,\infty}$ は、ループ公理を除くすべての公理を満たす部分cohomological field theoryを形成する。