[論文レビュー] A Grothendieck-Witt space for stable infinity categories with duality

Markus Spitzweck|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、2 が可逆である環における古典的 Grothendieck-Witt 空間を一般化し、duality を持つ安定 ∞-圏 C に対して Grothendieck-Witt 空間 GW(C) を構成する。GW(C) は群的 E∞-空間であり、真の C₂-スペンサーである connective real K-theory スペクトラム KR(C) の一部であることが示され、これは古典的 K-theory や GW-theory を回復する。

ABSTRACT

We construct a Grothendieck-Witt space for any stable infinity category with duality. If we apply our construction to perfect complexes over a commutative ring in which 2 is invertible we recover the classical Grothendieck-Witt space. Our Grothendieck-Witt space is a grouplike E-infinity space which is part of a genuine C_2-spectrum, the connective real K-theory spectrum.

研究の動機と目的

• duality を持つ安定 ∞-圏のための ∞-圏的枠組みに、古典的 Grothendieck-Witt 空間の構成を拡張すること。
• GW(C) が群的 E∞-空間である Grothendieck-Witt 空間を定義し、これにより connective スペクトラムが自然に得られること。
• GW(C) が真の C₂-スペンサーである connective real K-theory スペクトラム KR(C) の一部であることを示し、∞-圏への real K-theory の一般化を行うこと。
• 2 が可逆である環上の完全複体の ∞-圏に適用した場合、この構成が古典的 Grothendieck-Witt 空間を回復することを検証すること。

提案手法

• Waldhausen の K-theory フレームワークを双対構造を含めるように適応した、∞-圏的ヘルミート S•-構成を用いる。
• Sₙ(C) を、Ar([n]) から C への関手のうち、完全性および零対象条件を満たすもののなす全部分圏として定義する。
• K-theory 空間 K(C) を、S•(C) の核心群ガチの幾何的実現のループ空間として構成する。
• C の完全ペアリングの ∞-圏における C₂-固定点構成として Grothendieck-Witt 空間 GW(C) を導入する。
• Span(𝔽[C₂]) 上での Span 構成と Day convolution を用いて、GW(C) が群的 E∞-空間であることを確立する。
• G = C₂ に対して Span(𝔽[G]) の関手的性質と有限コプロダクトの保存性を用いて、connective real K-theory スペクトラム KR(C) を真の C₂-スペンサーとして構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2 が可逆である環における古典的 Grothendieck-Witt 空間の構成を、duality を持つ安定 ∞-圏の ∞-圏的枠組みにどのように一般化できるか？
• RQ2 得られる GW(C) 空間がどのような構造を持ち、K-theory や real K-theory とどのように関係するか？
• RQ3 GW(C) 空間は真の C₂-スペンサーに埋め込まれるか？ そして、それと元の K-theory スペクトラムの関係は何か？
• RQ4 2 が可逆である環上の完全複体の ∞-圏に適用した場合、この構成が古典的 Grothendieck-Witt 空間を回復するか？
• RQ5 Span 構成と Day convolution は、KR(C) を真の C₂-スペンサーとして実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• Grothendieck-Witt 空間 GW(C) は群的 E∞-空間であるため、自然に connective スペクトラムをもたらす。
• 任意の duality を持つ安定 ∞-圏 C に対して、C が 2 が可逆である可換環上の完全複体の ∞-圏であるとき、GW(C) は古典的 Grothendieck-Witt 空間と自然に同型である。
• この構成により、真の C₂-スペンサー KR(C) が得られ、これは C の connective real K-theory スペクトラムである。
• KR(C) の元のスペクトラムは自然に K-theory スペクトラム K(C) と同型であり、K(C) に自然な C₂-作用をもたらす。
• KR(C) の C₂-固定点は自然に GW(C) と同型であり、real K-theory と GW-theory の間の明確な関係を確立する。
• 任意の E∞-環スペクトラム R とテンソル可逆な対象 L ∈ Perf(R) に対して、この構成により real K-theory スペクトラム KR(R, L) が得られ、すべての n ∈ ℤ に対して KR(R, R[n]) を含む。