[論文レビュー] A group induced four-circulant construction for self-dual codes and new extremal binary self-dual codes

Joe Gildea, Abidin Kaya+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、群環上での新しい群誘導型4循環行列構成法を導入し、極大および最適な二値自己双対符号を生成する。$φ_2$、$φ_2 + uφ_2$、$φ_4 + uφ_4$ 上の群を用い、位数3、7、9、13、15の群を組み合わせることで、5つの新しい $[56,28,10]$ 符号、23個の重み列挙が異なる極大 $[68,34,14]$ 符号、15個の新しい $[80,40,14]$ 符号を構成し、極大自己双対符号の既知の集合を顕著に拡張した。

ABSTRACT

We introduce an altered version of the four circulant construction over group rings for self-dual codes. We consider this construction over the binary field, the rings F_2 + uF_2 and F_4 + uF_4; using groups of order 3, 7, 9, 13, and 15. Through these constructions and their extensions, we find binary self-dual codes of lengths 32, 40, 56, 64, 68 and 80, all of which are extremal or optimal. In particular, we find five new self-dual codes of parameters [56, 28, 10], twenty-three extremal binary self-dual codes of length 68 with new weight enumerators and fifteen new self-dual codes of parameters [80, 40, 14].

研究の動機と目的

• 自己双対符号のための新しい代数的構成法を、群環と修正された4循環行列を用いて開発すること。
• 特徴2の環上での群環によって生成される行列に置き換えることで、既存の4循環行列構成法を拡張すること。
• 長さ32、40、56、64、68、80の新たな極大および最適な二値自己双対符号を発見すること。
• 群環内の単元および非単元が、得られる符号の自己双対性に果たす役割を確立すること。
• MAGMAを用いた計算的列挙を通じて、構成法の有効性を実証すること。

提案手法

• 生成行列の形 $[I_{2n} \mid \begin{smallmatrix} A & B \\ B^T & A^T \end{smallmatrix}]$ を用い、$A$ および $B$ は $\mathbb{F}_2$、$\mathbb{F}_2 + u\mathbb{F}_2$、$\mathbb{F}_4 + u\mathbb{F}_4$ 上の群環要素から導出される。
• 位数3、7、9、13、15の群環を適用し、循環行列でないが構造的な行列を生成することで、新たな符号構成を可能にする。
• 自己双対性は、特徴2の環上での条件 $AA^T + BB^T = -I_n$ を満たすことで保証され、符号は適切に調整される。
• 既存の符号から新たな自己双対符号を生成するために、隣接法を用いて構成を拡張し、特に長さ68に対して有効である。
• MAGMA代数システムを用いた計算的検証により、符号の自己双対性および極大性を生成・テストした。
• 重み列挙を計算し、既知のリストと比較することで、特に長さ68および80の符号についての新規性を確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群環上での修正された4循環行列構成法は、新たな極大二値自己双対符号を生成できるか？
• RQ2 群環内の単元および非単元は、自己双対符号の生成に果たす役割は何か？
• RQ3 異なる群環および群の位数は、得られる自己双対符号の構造とパラメータにどのように影響を与えるか？
• RQ4 隣接構成法は、新たな家族の既存符号から新たな極大符号を生成できるか？
• RQ5 特に長さ68および80の符号において、重み列挙の新規性の範囲はどの程度か？

主な発見

• 著者らは、重み列挙が $W_{56,1}$ に属する、5つの新しい極大二値自己双対符号 $[56,28,10]$ を構成した。
• 長さ68の23個の新しい極大二値自己双対符号が発見され、重み列挙は $W_{68,2}$ に属し、パラメータは $(\gamma=3, \beta \in \{165,169,171,173\})$、$(\gamma=4, \beta \in \{163,165,173,177,179,181,183,185,187,188,189,190,192,193,204,208,210,214\})$、および $(\gamma=5, \beta=201)$ であった。
• 長さ80の15個の新しい極大二値自己双対符号が、パラメータ $[80,40,14]$ を用いて構成され、重み列挙は $W_{80,2}$ に属し、$\beta=1$ で $\alpha \in \{-96,-150,-168,-186,-204,-222,-240,-258,-312\}$、$\beta=10$ で $\alpha \in \{-204,-276,-294,-330,-348,-366\}$ であった。
• この構成法により、長さ32、40、56、64、68、80の複数の長さで新たな符号が生成され、その多くは極大または最適であった。
• 隣接構成法により、長さ68の17個の追加の新しい符号が得られ、すべての符号の自己同型群の位数は2で、重み列挙が互いに異なることが確認された。
• 本研究は、特に非循環行列を用いた群環に基づく構成法が、新たな極大自己双対符号を発見する強力で豊かなソースであることを確認した。