[論文レビュー] A group method solving many-body systems in intermediate statistical representation

Yao Shen, Chi-Chun Zhou+2 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2021

Quantum many-body systems参考文献 18被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、相互作用する多体系量子系を、ゲンティレ統計と呼ばれる中間統計的表現に写像することにより、群論的手法を用いて正確に解く方法を提案する。置換群の共轭類作用素とユニタリ群のキャミーゼ作用素の同型性を用い、ハミルトニアンをキャミーゼ不変量の形に表現することで、正確なエネルギー準位の計算が可能になる。この手法は極限的にボーズ統計およびフェルミ統計を回復し、m=2の場合に長距離ヘイゼンベルグ模型を正確に解くことができる。

ABSTRACT

The exact solution of the interacting many-body system is important and is difficult to solve. In this paper, we introduce a group method to solve the interacting many-body problem using the relation between the permutation group and the unitary group. We prove a group theorem first, then using the theorem, we represent the Hamiltonian of the interacting many-body system by the Casimir operators of unitary group. The eigenvalues of Casimir operators could give the exact values of energy and thus solve those problems exactly. This method maps the interacting many-body system onto an intermediate statistical representation. We give the relation between the conjugacy-class operator of permutation group and the Casimir operator of unitary group in the intermediate statistical representation, called the Gentile representation. Bose and Fermi cases are two limitations of the Gentile representation. We also discuss the representation space of symmetric and unitary group in the Gentile representation and give an example of the Heisenberg model to demonstrate this method. It is shown that this method is effective to solve interacting many-body problems.

研究の動機と目的

• 強い相関により通常は扱いにくい相互作用する多体系量子系を正確に解くための手法を開発すること。
• 標準的手法が失敗する、任意ons や分数統計を含む中間統計の系を解く課題に取り組むこと。
• ゲンティレ表現において、置換群の共轭類作用素とユニタリ群のキャミーゼ作用素との間の体系的対応を確立すること。
• 本手法の有効性を示すために、この枠組みで長距離ヘイゼンベルグスピン模型を正確に解くこと。

提案手法

• 本稿では、置換群の共轭類作用素とゲンティレ統計的表現におけるユニタリ群のキャミーゼ作用素との間の新しい群定理を導入する。
• U(m)のキャミーゼ作用素の固有値を用いて、正確なエネルギー準位を計算し、可約表現に対して⟨C₁⟩ = S₁および⟨C₂⟩ = S₂ − (m−1)S₁が成り立つ。
• ハミルトニアンは、H = cos⁻¹(2π/(n+1)) (½C₂ − C₁ − 2∑J(Nᵏᵢ)) という関係式を用いて再定式化される。ここでnは最大占有数を表す。
• 有限群が置換群の部分群として、コンact Lie群がユニタリ群として同型であるという事実を活用する。
• 状態が占有数でラベル付けされるゲンティレ表現を用いることで、多体系問題の簡略化が可能になる。
• すべてのペア間相互作用を持つ長距離ヘイゼンベルグ模型を解くことで、本手法の妥当性を検証し、キャミーゼ不変量を用いた正確な可解性を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ群のキャミーゼ作用素を用いて、中間統計における相互作用する多体系のハミルトニアンを正確に対角化できるか？
• RQ2 置換群の共轭類作用素とユニタリ群のキャミーゼ作用素との関係が、ゲンティレ表現において正確な解を可能にする仕組みは何か？
• RQ3 最大占有数nが、ボーズ統計およびフェルミ統計の極限として回復する役割は何か？
• RQ4 長距離相互作用を有するヘイゼンベルグ模型を、この群論的枠組みを用いて正確に解く方法は何か？
• RQ5 この手法はスピン模型を超えた他の多体系系へ一般化可能か？

主な発見

• m=2はスピン1/2系に対応し、ハミルトニアンをU(m)のキャミーゼ作用素の形に表現することにより、長距離ヘイゼンベルグ模型を正確に解ける。
• エネルギー準位はキャミーゼ作用素の固有値によって決定され、⟨C₁⟩ = S₁および⟨C₂⟩ = S₂ − (m−1)S₁が成り立つ。ここでS₁およびS₂は可約表現の分割から導かれる。
• n→∞の極限ではボーズ統計に回復し、n=1ではフェルミ統計に回復する。これは既知の極限と整合的であることが確認された。
• 本手法により、有限な最大占有数を持つ系を正確に取り扱える中間統計的表現（ゲンティレ統計）に相互作用する多体系を写像できることを示した。
• 本手法により、通常の近似手法では困難なエネルギー準位および簡約度の正確な計算が可能になった。
• 本フレームワークは、中間統計と群論的不変量を活用することで、量子コンピュータ上での量子多体系のシミュレーションに新たな道筋を提供する。