[論文レビュー] A group of diffeomorphisms of the interval with intermediate growth

Andrés Navas|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、中間成長で知られるグリゴルチュク＝マキ群が、区間上の$C^1$微分同相写像の群として実現可能であることを示している。さらに、任意の$C^{1+\beta}$微分同相写像群が指数的成長を示さない場合、ほとんどノルム的であることが証明されており、このような構造的制約が成立するための鋭い正則性閾値が確立された。

ABSTRACT

We prove that the so called Grigorchuk-Maki group of intermadiate growth can be seen as a group of $C^1$ diffeomorphisms of the interval. On the other hand, we prove that every group of $C^{1+\alpha}$ diffeomorphisms of the interval having subexponential growth is almost nilpotent.

研究の動機と目的

• 中間成長群が区間上の微分同相写像群として実現可能かどうかを調査すること。
• 指数的成長を示さない群が、ほとんどノルム的といった強い代数的構造を示すための正則性閾値を特定すること。
• 区間上の微分同相写像の文脈において、群作用の滑らかさと代数的成長性質の関係を明確にすること。

提案手法

• 再帰的な区分的滑らか同相による、グリゴルチュク＝マキ群を区間上の$C^1$微分同相写像として明示的に構成する。
• 滑らかな力学系と群論の技術を用いて、群作用の成長性質を分析する。
• 群の構造を用いて、それが区間上で$C^1$構造を保存することを示す。
• スペクトル的および微分の成長に関する議論を用いて、任意の$C^{1+\beta}$群作用が指数的成長を示さない場合、ほとんどノルム的であることを証明する。
• 群の$C^{1+\beta}$正則性が導関数コサイクルに強い制約を課すため、ノルム的になることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グリゴルチュク＝マキ群（中間成長）は、区間上の$C^1$微分同相写像群として表現可能か？
• RQ2 指数的成長を示さない群が、ノルム的類似の構造を強制するための最小正則性は何か？
• RQ3 指数的成長を示さない$C^{1+\beta}$作用が存在する場合、その群はほとんどノルム的であると結論づけられるか？
• RQ4 微分同相写像群の正則性が、群の成長タイプにどのように影響するか？
• RQ5 指数的成長を示さない$C^{1+\beta}$群作用が区間上で発生させる構造的性質は何か？

主な発見

• 中間成長のグリゴルチュク＝マキ群は、区間上で忠実な$C^1$作用を持つ。
• 区間上の任意の$C^{1+\beta}$微分同相写像群が指数的成長を示さない場合、ほとんどノルム的である。
• $C^1$正則性は、中間成長群を微分同相写像群として実現するための鋭いものである。
• $C^{1+\beta}$正則性閾値は、強い代数的制約を引き起こし、ほとんどノルム的になることを示唆する。
• $C^{1+\beta}$作用における導関数の成長は、群がほとんどノルム的でない限り、指数的成長を示さない。