[論文レビュー] A groupoid generalization of Leavitt path algebras

Lisa Orloff Clark, Cynthia Farthing+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、局所コンpakto、ハウスドルフ、完全に不連結な群コホモロジー G に対して、局所ホメオモルフィズムである源写像と離散群への連続コサイクルを持つ群コホモロジー G に対して、群コホモロジー C*-代数 C*(G) の稠密な *-部分代数 A(G) を構成することにより、Leavitt パス代数の群コホモロジーに基づく一般化を導入する。主な貢献は、A(G) がコンパクト開バイセクションの表現に関して普遍的であり、G が行有限なグラフまたは k-グラフから生じる場合、それぞれ Leavitt パス代数や Kumjian-Pask 代数と同型であることであり、A(G) に対して階数付き一意性定理が確立されている。

ABSTRACT

Let G be a locally compact, Hausdorff groupoid in which s is a local homeomorphism and the unit space is totally disconnected. Assume there is a continuous cocycle c from G into a discrete group $Γ$. We show that the collection A(G) of locally-constant, compactly supported functions on G is a dense *-subalgebra of C_c(G) and that it is universal for algebraic representations of the collection of compact open bisections of G. We also show that if G is the groupoid associated to a row-finite graph or k-graph with no sources, then A(G) is isomorphic to the associated Leavitt path algebra or Kumjian-Pask algebra. We prove versions of the Cuntz-Krieger and graded uniqueness theorems for A(G).

研究の動機と目的

• 群コホモロジーを用いた Leavitt パス代数および Kumjian-Pask 代数の一般化を図ること。
• G のコンパクト開バイセクションの表現に関して普遍的な、群コホモロジー C*-代数 C*(G) の稠密な *-部分代数 A(G) を構成すること。
• 適切な群コホモロジーの条件下で、A(G) に対して階数付き一意性定理を確立すること。
• G が行有限なグラフまたは k-グラフに関連する場合、A(G) が既知の代数—Leavitt パス代数および Kumjian-Pask 代数—を回復することを示すこと。
• 群コホモロジーの設定において、Cuntz-Krieger および階数付き一意性定理を A(G) に拡張すること。

提案手法

• G が単位空間が完全に不連結で、源写像が局所ホメオモルフィズムである群コホモロジー G に対して、局所定数かつ компactsupporth な複素数値関数の代数として A(G) を定義する。
• 群コホモロジーの対合および畳み込み積を用いて、A(G) に *-代数構造を与える。
• 連続コサイクル c: G → Γ を導入し、A(G) に Γ-次数構造を定義することで、階数付き表現の研究を可能にする。
• A(G) が G のコンパクト開バイセクションの集合の代数的表現に関して普遍的であることを証明する。
• 非退化な階数付き表現が G^(0) のコンパクト開部分集合上で非零であれば、その表現が単射であることを示すことにより、階数付き一意性定理を確立する。
• G が行有限な有向グラフまたは k-グラフに関連する場合、A(G) が対応する Leavitt パス代数 L_C(E) または Kumjian-Pask 代数 KP_C(Λ) と同型であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群コホモロジー理論を用いて、Leavitt パス代数および Kumjian-Pask 代数をより広範な代数的枠組みで統一できるか？
• RQ2 群コホモロジー G に対して、その関連代数 A(G) がコンパクト開バイセクションの表現に関して普遍的であるための条件は何か？
• RQ3 A(G) の階数付き表現が、Cuntz-Krieger および階数付き一意性定理を一般化するように、非零で保たれる条件は何か？
• RQ4 代数 A(G) と群コホモロジー C*-代数 C*(G) の関係は何か？また、G の C*-代数的構造において A(G) は果たす役割は何か？
• RQ5 動的系から生じる群コホモロジー、例えば全単射な局所ホメオモルフィズムによって定義されるものに対して、A(G) を構成し、既知の代数と同型であることを示せるか？

主な発見

• A(G) は C*(G) の稠密な *-部分代数であり、群コホモロジー C*-代数の自然な代数的モデルを提供する。
• A(G) は G のコンパクト開バイセクションの集合の代数的表現に関して普遍的であり、任意のこのような表現が一意に A(G) を通して因数分解可能である。
• G が行有限な有向グラフに関連する群コホモロジーである場合、A(G) は Leavitt パス代数 L_C(E) と同型である。
• G がソースのない k-グラフに関連する群コホモロジーである場合、A(G) は Kumjian-Pask 代数 KP_C(Λ) と同型である。
• A(G) に対して階数付き一意性定理が成り立つ：G^(0) のコンパクト開部分集合上で非零であるような非退化な階数付き表現は単射である。
• Cuntz-Krieger 一意性定理が A(G) に一般化され、G^(0) のコンパクト開部分集合上で非零であるような表現が単射であることを保証する。