[論文レビュー] A guide to the reduction modulo p of Shimura varieties

Michael Rapoport|ArXiv.org|May 2, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 157

ひとこと要約

本稿は、パラハオリレベル構造を備えた志村多様体の素数 p における還元について、群論的枠組みを提供する。主な焦点は局所的・大域的な幾何構造、アフィンデュドニュー＝ルスツジアン多様体、ガロア・ジェルブとヘッケ代数の間の関係に向けられている。半単純ゼータ関数のための予想をねじれ軌道積分を用いて定式化し、GL_n および GSp_{2n} の場合に重要な結果を確立。Kottwitzのヘッケ代数写像に関する予想を通じて、算術幾何と自動形式の間の関係を構築する。

ABSTRACT

This is a report on results and methods in the reduction modulo p of Shimura varieties with parahoric level structure. In the first part, the local theory, we explain the concepts of parahoric subgroups, of the mu-admissible and mu-permissible subsets of the Iwahori-Weyl group, of the corresponding union of affine Deligne-Lusztig varieties and of local models. In the second part, the global theory, we use these concepts to formulate conjectures on the points in the reduction modulo p of Shimura varieties with parahoric level structure.

研究の動機と目的

• パラハオリレベル構造を備えた志村多様体の p を法とする還元を理解するための群論的フレームワークを構築すること。
• 局所モデルとアフィンデュドニュー＝ルスツジアン多様体を通じて、志村多様体の特別ファイバーの幾何を明確化すること。
• ねじれ軌道積分を用いて、志村多様体の半単純ゼータ関数に関する予想を定式化し、検証すること。
• 古典的志村多様体（例えばヒルベルト＝ブルーメンタール、シーゲル）の既知の結果を、特にホッジ型の一般化された場合にまで拡張すること。
• ヘッケ代数とガロア・ジェルブを通じて、点数とトレース公式を結びつけることで、算術幾何と自動形式を橋渡しすること。

提案手法

• パラハオリ部分群の局所理論および μ-適切／許容集合の理論を用いて、アフィンデュドニュー＝ルスツジアン多様体 X(μ,b)_K の構造を分析する。
• 局所モデルおよびガロア・ジェルブの理論を応用し、有限体上での志村多様体の還元における点集合を記述する。
• 半単純ゼータ関数およびトレース公式の技法を用いて、点数と軌道積分を関連付ける。
• 共役類とフロベニウス作用の関係を介して、アドミッスィブルな準同型の Lefschetz 固定点公式への寄与を群論的表現で導出する。
• ヘッケ代数とバーナンスタイン関数を用いて、p-進ヘッケ作用素 φ_p^n を z_μ および Iwahori-ヘッケ代数写像の観点から予想を定式化する。
• フロベニウス作用の固定点を分析し、それらをねじれ軌道積分に関連させることで、大域的トレース公式を局所的寄与に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラハオリレベル構造を備えた志村多様体の p を法とする還元は、μ-適切集合やアフィンデュドニュー＝ルスツジアン多様体といった群論的不変量を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 半単純ゼータ関数の群論的解釈は、ねじれ軌道積分およびヘッケ代数の観点からどのように定式化できるか？
• RQ3 Kottwitzのヘッケ代数写像に関する予想は、GL_n および GSp_{2n} を超えて、一般のホッジ型志村多様体へどの程度拡張可能か？
• RQ4 アドミッスィブルな準同型が Lefschetz トレース公式に寄与する寄与は、共役類とフロベニウス作用を含む局所的項にどのように分解されるか？
• RQ5 非正則な拡張が生じる場合、予想にどのような修正が必要か。また、適切な関数を G(Q_p) 上にとることで、大域的トレース公式が得られるようにするにはどうすればよいか？

主な発見

• 志村多様体の p を法とする還元の点集合は、同種類の類の直和として記述され、X(φ)_{K_p} × X^p/K^p と I_φ(Q) の群作用によって添え字づけられる。
• 特異的および Iwahori レベル構造の場合は、X(φ)_{K_p} は、楕円曲線のディエュドニュー加群における pΛ ⊂ FΛ ⊂ Λ を満たす格子 Λ の集合として特徴づけられる。
• 各アドミッスィブルな準同型 φ の半単純ゼータ関数への寄与は、軌道積分 O_h(φ^p) とねじれ軌道積分 TO_δ(φ_p^n) の積に体積係数 v を乗じた形で表される。
• Kottwitzの予想は、Haines と Ngo の研究を通じて GL_n および GSp_{2n} で証明され、φ_p^n がヘッケ代数の写像による z_μ の像から生じることを示している。
• 予想は、φ_p^n が p^{n'⟨ρ,μ⟩} 倍のバーナンスタイン関数 z_μ に比例することを予測しており、ここで n' = n·r かつ r = [κ_E : F_p] である。
• この枠組みは、適切な関数を G(Q_p) 上にとることで、ねじれ軌道積分を通常の軌道積分に置き換えることで、大域的トレース公式がすべての φ について和をとることで回復可能であると示唆しているが、境界項と L-区別不能性の問題は依然として課題のままである。