[論文レビュー] A Hardy-Moser-Trudinger inequality

Guofang Wang, Dong Ye|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、古典的なモーザー＝トゥリーディンガーおよびハーディー不等式を組み合わせることで、ℝ²における単位円板上での鋭いハーディー＝モーザー＝トゥリーディンガー不等式を確立する。指数積分の上界が有限であり、重み付きヒルベルト空間で達成されることを証明する。主な結果は、すべての $ u \in \mathcal{H} $ に対して $ \int_B e^{\frac{4\pi u^2}{H(u)}} dx \leq C_0 $ を満たす有限な鋭い定数 $ C_0 $ の存在である。ここで $ H(u) $ はハーディー項を組み込んだエネルギー汎関数である。

ABSTRACT

In this paper we obtain an inequality on the unit disc $B$ in the plane, which improves the classical Moser-Trudinger inequality and the classical Hardy inequality at the same time. Namely, there exists a constant $C_0>0$ such that \[ \int_B e^{\frac {4πu^2}{H(u)}} dx \le C_0 < \infty, \quad \forall\; u\in C^\infty_0(B),\] where $$H(u) := \int_B | u|^2 dx - \int_B \frac {u^2}{(1-|x|^2)^2} dx.$$ This inequality is a two dimensional analog of the Hardy-Sobolev-Maz'ya inequality in higher dimensions, which was recently intensively studied. We also prove that the supremum is achieved in a suitable function space, which is an analog of the celebrated result of Carleson-Chang for the Moser-Trudinger inequality.

研究の動機と目的

• 2次元において、組み合わせた関数的枠組みを導入することで、古典的なモーザー＝トゥリーディンガーおよびハーディー不等式を統合すること。
• すべての $ u \in \mathcal{H} $ に対して $ \int_B e^{\frac{4\pi u^2}{H(u)}} dx \leq C_0 < \infty $ の形をした鋭い不等式を確立すること。ここで $ \mathcal{H} $ は $ C_0^\infty(B) $ の $ \|u\| = \sqrt{H(u)} $ によるノルムで完備化された空間である。
• この不等式における最良定数が、$ \mathcal{H} $ 内の最大化関数によって達成されることを証明すること。これは、カルセロン＝チャンの結果をハーディー修正された設定に拡張するものである。
• 一般領域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^2 $ におけるこの不等式の一般化を予想すること。ここでハーディー型のポテンシャルは境界からの距離に基づくものとする。

提案手法

• 非負で、$ \mathcal{H} $ 上のヒルベルト空間ノルムを定義する汎関数 $ H(u) = \int_B |\nabla u|^2 dx - \int_B \frac{u^2}{(1-|x|^2)^2} dx $ を定義する。
• 原点付近に集中するテスト関数と爆発解析を用いて、すべての $ u \in \mathcal{H} $ に対して不等式 $ \int_B e^{\frac{4\pi u^2}{H(u)}} dx \leq C_0 < \infty $ を証明する。
• グリーン関数とカットオフ関数を用いて、局所化された集中を制御する $ H(f_\varepsilon) = 1 $ を満たすテスト関数の族 $ f_\varepsilon $ を構成する。
• 対数関数およびグリーン関数の項の漸近展開を用いて、$ e^{4\pi f_\varepsilon^2} $ の $ L^1 $ ノルムの下界を推定する。
• $ \varepsilon \to 0 $ における $ \beta_\varepsilon $ と $ \gamma_\varepsilon $ の漸近的挙動を用いて、積分が $ \pi + \pi e^{4\pi C_G + 1} $ よりも厳密に大きい値を超えることを示し、古典的ケースよりも上界が厳密に大きいことを証明する。
• 変分法とコンパクト性の議論を用いて、上界が $ \mathcal{H} $ 内で達成されることを示し、最大化関数は $ H_0^1(B) $ には属さないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元において、ハーディー項を組み込むことで、古典的なモーザー＝トゥリーディンガー不等式を改善できるか？
• RQ2 改善された不等式における最良定数は、適切な関数空間で有限かつ達成可能か？
• RQ3 指数関数的汎関数の最大化関数は $ H_0^1(B) $ に属するか、それとも厳密に大きい空間 $ \mathcal{H} $ に属するか？
• RQ4 この不等式は、境界からの距離に基づくハーディー型ポテンシャルを持つ、一般の有界かつ凸な領域 $ \mathbb{R}^2 $ に拡張可能か？
• RQ5 爆発列におけるエネルギー汎関数 $ H(u) $ の漸近的挙動は何か？ そしてそれは指数積分にどのように影響するか？

主な発見

• すべての $ u \in \mathcal{H} $ に対して不等式 $ \int_B e^{\frac{4\pi u^2}{H(u)}} dx \leq C_0 < \infty $ が成り立ち、$ C_0 > 0 $ は有限な鋭い定数である。
• $ \mathcal{H} $ 内の単位球上で $ \int_B e^{4\pi u^2} dx $ の上界は、$ \|u_0\| = 1 $ を満たす関数 $ u_0 \in \mathcal{H} $ によって達成され、これはカルセロン＝チャンの結果をハーディー修正された設定に拡張するものである。
• 最大化関数 $ u_0 $ は $ H_0^1(B) $ には属さないため、空間 $ \mathcal{H} $ は $ H_0^1(B) $ よりも厳密に大きいことが示され、不等式は厳密に強いものである。
• 証明により、十分に小さい $ \varepsilon $ に対して $ \int_B e^{4\pi f_\varepsilon^2} dx $ が $ \pi + \pi e^{4\pi C_G + 1} $ よりも大きいことが示され、定数の鋭さが証明される。
• 漸近的解析により、$ \beta_\varepsilon = O(|\ln \varepsilon|^{1/2}) $ であり、$ \varepsilon \to 0 $ のとき $ \gamma_\varepsilon \to 1 $ であることが確認され、これは指数積分の下界を保証する上で重要である。
• この結果は、高次元におけるハーディー＝ソボレフ＝マズヤ不等式の2次元版であり、古典的なモーザー＝トゥリーディンガー不等式と同一の鋭い定数 $ 4\pi $ を持つ。