[論文レビュー] A Hecke algebra attached to mod 2 modular forms of level 3

Paul Monsky|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2015

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ひとこと要約

この論文は、レベル3のmod 2のモジュラー形式の空間に作用する完備化されたヘッケ代数を構成し、それが𝔽₂上での2変数の形式的べき級数環に、平方が0である追加の冪零元を添加したものに同型であることを示している。p > 3 であるヘッケ作用素 Tₚ が、k が奇数かつ6と互いに素であるような Dᵏ の張る空間 W に作用するとき、その作用は局所冪零であることが示され、生成元 T₇ と T₁₃ および冪零元 T₅ + λ(T₇, T₁₃) を用いて代数が明示的に記述される。ここで λ は、先頭項が X + Y であるべき級数である。

ABSTRACT

Let $D$ in $Z/2[[x]]$ be $\sum x^{n^{2}}$, $n>0$ and prime to $6$. Let $W$ be spanned by the $D^{k}$, $k>0$ and prime to $6$. Then the formal Hecke operators $T_{p}$, $p>3$, stabilize $W$, and it can be shown that they act locally nilpotently. We show that the completion of the Hecke algebra generated by these $T_{p}$ acting on $W$, with respect to the maximal ideal generated by the $T_{p}$, is a power series ring in $T_{7}$ and $T_{13}$ with an element of square $0$ adjoined. This may be viewed as a level 3 analog of the level 1 results of Nicolas and Serre -- the Hecke stable space they study is spanned by the odd powers of the mod $2$ reduction of $Δ$, and their resulting completed Hecke algebra is a power series ring in $T_{3}$ and $T_{5}$.

研究の動機と目的

• レベル3のmod 2モジュラー形式の空間に作用する形式的ヘッケ作用素 Tₚ (p > 3) の作用を調べること。
• Tₚ が生成する極大イデアルに関して、W に作用する完備化されたヘッケ代数の構造を特定すること。
• レベル1のモジュラー形式におけるニコラス＝セルレの結果の類似を、レベル3の設定において確立すること。
• 完備化されたヘッケ代数が 𝔽₂[[X,Y]] に平方が0である冪零元を添加したものに同型であることを証明すること。

提案手法

• D ∈ 𝔽₂[[x]] を、(n,6) = 1 である n > 0 に対する xⁿ² の和として定義し、W を k > 0 かつ (k,6) = 1 であるような Dᵏ の張る空間とする。
• レベル3の奇数のmod 2モジュラー形式の空間におけるヘッケ安定フィルトレーションを用いて、Tₚ が W を安定化し、局所冪零に作用することを示す。
• W₅（k ≡ 5 mod 6 である部分空間）に、T₇ によって消える二面体的部分空間を構成し、これにより T₁₃ の作用を明示的に記述可能にする。
• [2] の補題4.2を適用し、ニコラス＝セルレの命題4.3に類似する重要な冪零性条件を導出する。
• T₅ の作用と関係式 T₅² = λ(T₇, T₁₃)² を用いて、平方が0である冪零元 ε = T₅ + λ(T₇, T₁₃) を完備代数内に特定する。
• 完備化されたヘッケ代数が 𝔽₂[[X,Y]] に ε を添加したものに同型であり、ε² = 0 であることを証明し、作用が忠実であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 mod 2モジュラー形式のレベル3における空間に作用する完備化されたヘッケ代数の構造は何か？
• RQ2 p > 3 であるヘッケ作用素 Tₚ は、6と互いに素な k に対する Dᵏ の張る空間 W にどのように作用するか？
• RQ3 レベル3の状況は、レベル1モジュラー形式におけるニコラス＝セルレの結果の類似と見なせるか？
• RQ4 作用素 T₅ は完備化されたヘッケ代数において果たす役割は何か？また、これにより冪零元が生じるか？
• RQ5 完備化されたヘッケ代数は、単一の冪零生成元を備えたべき級数環であるか？

主な発見

• W に作用する完備化されたヘッケ代数は、𝔽₂[[X,Y]] に、ε = T₅ + λ(T₇, T₁₃) で与えられる平方が0である元 ε を添加したものに同型であり、λ ∈ 𝔽₂[[X,Y]] は先頭項が X + Y であるべき級数である。
• p ≡ 1 mod 6 を満たす各 Tₚ は、定数項が0（すなわち、(X,Y) の極大イデアル内に）である T₇ と T₁₃ のべき級数として作用する。
• p ≡ 5 mod 6 を満たす各 Tₚ は、T₅ と T₇ および T₁₃ のべき級数との合成として作用する。
• ヘッケ代数の W への作用は忠実であり、代数は局所冪零に作用する。
• W は、基底 {mₐ,₆, ε·mₐ,₆} を持つ 𝔽₂[[X,Y]] 上のランク2の自由加群である。ここで mₐ,₆ は W₅ の基底をなす。
• 冪零元 ε は関係式 T₅² = λ(T₇, T₁₃)² から生じ、(T₅ + λ(T₇, T₁₃))² = 0 であることが示される。