[論文レビュー] A Hierarchical Approach to Stability Assessment of Large Scale Interconnected Networks

Thanh Long Vu, Konstantin Turitsyn|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2016

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、電力系統など大規模非線形相互接続ネットワークにおける一時的安定性を評価するスケーラブルな階層的フレームワークを提案する。この手法は、部分系の安定性を独立して分析し、部分系ダイナミクスと相互接続ゲインの構造行列に対して対角優勢性を強制することで、安定性を保証する。構造行列が対角優勢である場合、部分系のリャプノフ関数の線形結合により安定性が保証され、複数の均衡点と局所的安定性しか持たない系に対しても、効率的で低複雑度の解析が可能になる。

ABSTRACT

Interconnected networks describe the dynamics of important systems in a wide range such as biological systems and electrical power grids. Some important features of these systems were successfully studied and understood through simplified model of linear interconnection of linear subsystems, where provably global properties, e.g. global convergence to a specific state, usually hold true. However, in severely disturbed conditions many of those systems exhibit strongly nonlinear behaviour. Particularly, multiple equilibrium points may coexist and make the dynamical behavior of the system difficult to predict. Aiming at understanding the fragility of interconnected systems, we will provide a hierarchical framework to assess the metastability and resilience of such systems. This framework is based on independently characterizing stability of individual subsystems when they are uncoupled from the network, and then enforcing the diagonal dominance property on a structure matrix capturing the subsystems stability and the input-to-output gains of interconnection network. Since the subsystems are usually of low order and the structure matrix has size equal to the number of subsystems, this framework is easy to implement and thus scalable to large scale interconnected systems. Possible application of this framework in assessing stability of microgrids will be discussed at the end of this paper.

研究の動機と目的

• 強い非線形性と複数の均衡点を示す大規模相互接続系における安定性評価の課題に対処すること。特に深刻な摂動下での安定性評価を目的とする。
• 非線形系においてグローバル安定性が保証できない場合に生じる、グローバル安定性解析の限界を克服すること。
• 電力系統など数千〜数百万のコンponentsを有する系において、計算的にスケーラブルな安定性証明手法を開発すること。
• 特にマイクログリッドや電力系統において、準安定性とレジリエンスを実用的なツールで評価すること。
• リャプノフ関数の族と適応最適化を活用することで、安定性証明の過剰な保守性を低減すること。

提案手法

• 手法は解析を2段階に分ける：(1) リャプノフ関数を用いて、非線形部分系を個別に安定性評価する。 (2) 部分系間の入出力ゲインを推定する。
• 構造行列 M を構築し、部分系の安定性特性と相互接続ゲインを符号化する。この行列は部分系のダイナミクスと結合強度から導出される。
• 構造行列 M の対角優勢性を、ネットワーク全体に共通のリャプノフ関数が存在する十分条件として強制する。
• 安定性条件は、部分系の数に等しい行列サイズを持つ線形行列不等式（LMI）として定式化され、効率的な計算が可能になる。
• フレームワークはリャプノフ関数の族を用いて吸引域の内挙動近似を構築し、精度を向上させるとともに保守性を低減する。
• 凸最適化（例：MATLABのCVXを用いた）に基づく適応アルゴリズムを適用し、与えられた初期状態に対して安定性を証明する最適な正の対角行列 C を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の均衡点と局所的安定性しか持たない大規模相互接続ネットワークにおける一時的安定性を評価するスケーラブルなフレームワークを開発できるか？
• RQ2 グローバル安定性仮定に依存せずに、非線形相互接続系の安定性をどのように保証できるか？
• RQ3 相互接続構造にどのような条件が課されると、ネットワーク全体に合成リャプノフ関数が存在するか？
• RQ4 大規模系における安定性証明の精度を維持しつつ、計算複雑度をどのように低減できるか？
• RQ5 適応的選択されたリャプノフ関数により、安定性証明の保守性を低減できるか？

主な発見

• 提案されたフレームワークは、構造行列 M が対角優勢である限り、ネットワーク全体の安定性を保証する。これは正の対角行列 C を通じて合成リャプノフ関数の存在を保証する。
• 時変相互接続を持つ20ノードのネットワークにおいて、V(x(0)) = 14.4952 かつ Vmin = 17.9277 の初期状態から原点への収束が成功裏に証明され、漸近的安定性が確認された。
• LMIのサイズが部分系の数にのみ依存するため、この手法は計算的にスケーラブルである。全系次元に依存しない。
• リャプノフ関数の族を用いることで、吸引域の明示的内挙動近似が可能となり、安定性証明の精度が向上する。
• ループ構造の20部分系ネットワークにおいて数値的に妥当性が検証され、リャプノフ関数 V(x) が時間経過とともにゼロに収束することが示された。
• この手法は不確実な相互接続ネットワークにも適用可能であり、電力システムモデリングに用いられる記述子系へも拡張可能である。