[論文レビュー] A Higher Bachmann-Howard Principle

Anton Freund|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2017

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Simpsonの集合論的$̅{ATR}_0$の上では、Kripke-Platek集合論の推移的モデルの存在と同値である——したがって$Π_1^1$- comprehensionと同値である——ような高階の整列順序原理を導入する。この構成は、許容集合上に定義されたBachmann-Howardスタイルの順序数の衝撃関数を用い、古典的な整列順序原理を高次の型へ一般化することで、$Π_1^2$-式を越える証明論的強さを達成する。

ABSTRACT

We present a higher well-ordering principle which is equivalent (over Simpson's set theoretic version of $ ext{ATR}_0$) to the existence of transitive models of Kripke-Platek set theory, and thus to $Π^1_1$-comprehension. This is a partial solution to a conjecture of Montalbán and Rathjen: partial in the sense that our well-ordering principle is less constructive than demanded in the conjecture.

研究の動機と目的

• 古典的な整列順序原理を高次の型へ拡張し、より強い集合存在公理の特徴づけを可能にする。
• $̅{ATR}_0^\text{set}$上での$Π_1^1$-comprehensionと同値な高階の整列順序原理を提供する。
• 項系上で超限再帰を用いて定義された関数$\vartheta_{\mathbb{A}}$を用いて、許容集合上にBachmann-Howardの衝撃を構成する。
• 証明論と逆数学を結ぶために、高次の整列順序原理が$Π_1^1$-comprehensionを捉えることができることを示す。
• 著者の博士論文で後続的に精錬された形で、MontalbánとRathjenの予想を解決する十分な強さの整列順序原理を構成する。

提案手法

• 固定された$u$に対して、順序数上の項系を形成する整列順序原理$\alpha \mapsto T_\alpha^u$を定義する。
• 許容集合$\mathbb{A}$内で再帰的定義により関数$\vartheta_{\mathbb{A}}: T_{o(\mathbb{A})}^u \to o(\mathbb{A})$を構成し、$D_T(u,s,\alpha)$を用いて$\alpha$が$s$の先行項における$\vartheta_{\mathbb{A}}$の値を上から抑えることを表現する。
• 許容集合$\mathbb{A}$における$\Sigma$-置換と$\Delta$-分離を用い、関数$a_m$およびその上限の存在を保証し、これにより$\vartheta_{\mathbb{A}}(s)$の値を示す。
• $\vartheta_{\mathbb{A}}$がBachmann-Howard衝撃の2条件を満たすことを検証する：$|s|_T^u < \vartheta_{\mathbb{A}}(s)$ および $s <_{T^{u}} t$ かつ $|s|_T^u < \vartheta_{\mathbb{A}}(t)$ ならば $\vartheta_{\mathbb{A}}(s) < \vartheta_{\mathbb{A}}(t)$。
• このような衝撃の存在が、Kripke-Platek集合論の推移的モデルの存在を示唆することを示し、したがって$\Pi_1^1$-comprehensionを示す。
• 探索木と証明論的変換の枠組みを用い、整列順序原理がモデル存在と証明論的順序数解析にどのように関連するかを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された$\mathbf{ATR}_0^``\text{set}$上での$\Pi_1^1$-comprehensionを捉える高階の整列順序原理を構成できるか？
• RQ2 整列順序原理から整列順序へ写像する関数$\mathcal{F}$が存在し、その$\mathcal{F}$の存在がKripke-Platek集合論の推移的モデルの存在を示唆するか？
• RQ3 このような原理は$\Delta$-分離に依存しない形で定式化可能か、したがってより弱い基礎理論でも成立するか？
• RQ4 Bachmann-Howard構成はどのように高次の型へ一般化され、許容集合はこの一般化において果たす役割は何か？
• RQ5 この構成は、MontalbánとRathjenが提起した$\Pi_1^1$-comprehensionに関する高次の整列順序原理による予想を完全に解決するか？

主な発見

• 関数$\vartheta_{\mathbb{A}}$を用いて定義された高階のBachmann-Howard原理は、型$\omega$の整列順序原理であり、整列順序原理から順序数へ写像する。
• $\vartheta_{\mathbb{A}}$は正当なBachmann-Howard衝撃であり、$|s|_T^u < \vartheta_{\mathbb{A}}(s)$ および $s <_{T^{u}} t$ かつ $|s|_T^u < \vartheta_{\mathbb{A}}(t)$ ならば $\vartheta_{\mathbb{A}}(s) < \vartheta_{\mathbb{A}}(t)$ という2条件を満たす。
• 許容集合$\mathbb{A}$上にこのような衝撃が存在することは、$\mathbb{A}$がKripke-Platek集合論の推移的モデルを含むことを示唆する。
• これは、Kripke-Platek集合論の推移的モデルが既に$\Pi_1^1$-comprehensionを含むことが知られているので、$\mathbf{ATR}_0^\text{set}$上での$\Pi_1^1$-comprehensionを示唆する。
• この原理は$\mathbf{ATR}_0^``\text{set}$上での$\Pi_1^1$-comprehensionと同値であるため、MontalbánとRathjenの予想を部分的に解決する。
• この結果は、後に著者の博士論文およびarXiv:1809.06759で、原理の計算可能版が得られ、予想が完全に解決された。