[論文レビュー] A higher-order finite-volume discretization method for Poisson's equation in cut cell geometries

Dharshi Devendran, Daniel Graves+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、重み付き最小二乗法を用いて面フラックスを再構築することで、2次および4次精度を達成する、カルテシアンカットセルメッシュ上でのポアソン方程式の高次有限体積法を提示する。重みの適切な選定により安定性が確保され、複雑な2次元および3次元幾何形状において、最適な収束性と離散ラプラシアンの厳密に負の固有値を示す。

ABSTRACT

We present a method for generating higher-order finite volume discretizations for Poisson's equation on Cartesian cut cell grids in two and three dimensions. The discretization is in flux-divergence form, and stencils for the flux are computed by solving small weighted least-squares linear systems. Weights are the key in generating a stable discretization. We apply the method to solve Poisson's equation on a variety of geometries, and we demonstrate that the method can achieve second and fourth order accuracy in both truncation and solution error for these examples. We also show that the Laplacian operator has only stable eigenvalues for each of these examples.

研究の動機と目的

• 埋め込まれた境界を有する複雑な幾何形状におけるポアソン方程式の有限体積離散化で高次精度を達成する挑戦に応える。
• 既存のカットセル有限体積法が埋め込み境界付近で1次精度の切断誤差を示すという制限を克服する。
• 小さなカットセル体積や複雑な界面に対しても、高次精度を維持する安定で保存的な離散化を構築する。
• さまざまな幾何形状において、離散ラプラシアン作用素が厳密に負の固有値のみを有することを保証し、安定性を確保する。
• メッシュ作成の複雑さを最小限に抑えつつ、熱・質量移動などの保存性が求められる問題に安定して適用可能にする。

提案手法

• 離散的保存性を構成的に保証するため、ポアソン方程式をフラックス発散形に定式化する。
• 各カットセルにおける解の多項式再構築を用いて、重み付き最小二乗法系により面フラックスを計算する。
• 解の安定性と条件数の制御を目的に、解を安定化する重みを用いた、不定線形系を解く。
• 局所的な幾何形状および体積分率に応じてスタencilを適応させる2次元および3次元のカルテシアンカットセルグリッドに本手法を適用する。
• 保存性を維持するとともに、切断誤差および解の誤差の両方で高次精度を達成できる一貫的かつ保存的なフラックス再構築を実装する。
• ゴーストセルと一貫した再構築を用いて、埋め込み境界におけるディリクレおよびノイマン境界条件を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カットセルグリッド上でのポアソン方程式に対して、2次および4次精度の収束を、切断誤差および解の誤差の両方で達成できる高次有限体積法を構築できるか？
• RQ2 適切な重み付けを用いた不定最小二乗法系により、小さなカットセルに対して安定なフラックス再構築をどのように生成できるか？
• RQ3 得られた離散ラプラシアン作用素は、多様な複雑な幾何形状においても、厳密に負の固有値のみを有するか、すなわち安定性を保っているか？
• RQ4 わずかな幾何的摂動、例えば埋め込み境界位置のわずかなシフトに対して、本手法はどれほど頑健か？
• RQ5 本手法は、係数が変化するポアソン方程式やその他の発散フラックス形問題へ、最小限の修正で拡張可能か？

主な発見

• 2次元の正方形に4つの内接円を有する幾何形状では、解の誤差が4次収束を示し、$h=1/32$から$h=1/64$にグリッド解像度を上げるに従い、$L_\text{infty}$誤差は$1.04\times10^{-6}$から$6.30\times10^{-8}$に減少する。
• 3次元の球体幾何形状では、解の誤差が約4次収束を示し、$h$を$1/64$から$1/128$に半分にした際、$L_\infty$誤差は$9.16\times10^{-5}$から$6.27\times10^{-6}$に低下する。
• すべてのテストした幾何形状において、離散ラプラシアン作用素は厳密に負の固有値のみを有しており、ディリクレおよびノイマン境界条件の両方において数値的安定性が確認された。
• わずかな幾何的摂動に対しても本手法は頑健である：2次元で円の中心を$0.001$シフトさせたり、半径を$0.005$変更しても収束率は劣化しない。
• ラプラシアンの固有値スペクトルには、非ゼロの虚部を有する小さな固有値クラスタが存在するが、主な固有値は実数かつ負であり、安定性が保たれている。
• 2次元の正方形に4つの内接円を有する幾何形状では、切断誤差について2次収束を示し、$h$を半分にした際、$L_1$切断誤差は$1.12\times10^{-3}$から$4.62\times10^{-5}$に減少する。